Ensino Médio ⇒ (Geometria Plana) Circunferencias e retas Tangentes

[Ardovino]

De acordo com a figura, os ponto B, D, E, F, G, H são pontos de tangencia, e r e R são os raios das circunferencias. Calcule o valor do segmento GF em função de R e r.

Gabarito:

Resposta

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R + r

[csmarceloMOD]

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O ponto [tex3]H[/tex3] está posicionado erroneamente no seu desenho.

[tex3]\overleftrightarrow{AM}[/tex3] é bissetriz de [tex3]\hat{A}[/tex3] e, portanto, [tex3]\alpha=15^\circ[/tex3].

[tex3]m(\hat{A})=m(\hat{J})=30^\circ\Rightarrow m(\hat{ACJ})=120^\circ[/tex3]

[tex3]\overleftrightarrow{CM}[/tex3] é bissetriz de [tex3]\hat{C}[/tex3] e, portanto, [tex3]\beta=60^\circ[/tex3].

Daí, concluímos que,

1) [tex3]\gamma=180^\circ-(\alpha+\beta)=180^\circ-(15^\circ+60^\circ)=105^\circ[/tex3]

2) [tex3]\epsilon=180^\circ-(\beta+\hat{MGC})-(60^\circ+90^\circ)=30^\circ[/tex3]

Assim, temos que [tex3]\theta=180^\circ-(105^\circ+30^\circ)=45^\circ[/tex3]. Logo, o triângulo [tex3]MOG[/tex3] é isósceles, de base [tex3]MO[/tex3] e, portanto, [tex3]m(\overline{GO})=m(\overline{GM})=r[/tex3].

Os triângulos [tex3]MOJ[/tex3] e [tex3]QOI[/tex3] são semelhantes. Logo, o triângulo [tex3]QOF[/tex3] também é isósceles, mas de base [tex3]QO[/tex3] e, portanto, [tex3]m(\overline{OF})=m(\overline{QF})=R[/tex3].

[tex3]m(\overline{GF})=m(\overline{GO})+m(\overline{OF})=r+R[/tex3]