Ensino Superior ⇒ Equação matricial Tópico resolvido

[iceman]

Resolva a seguinte equação matricial em termos a,b,c e d:
[tex3]\begin{bmatrix} a-b & & b+c \\ &
& \\ 3d+c & & 2a-4d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & & 1 \\ &
& \\ 7 & & 6\end{bmatrix}[/tex3]


Agradeço quem puder me ajudar passo a passo, obrigado!!!

[candre]

[tex3]\begin{bmatrix} a-b & & b+c \\ & & \\ 3d+c & & 2a-4d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 8 & & 1 \\ & & \\ 7 & & 6\end{bmatrix}[/tex3]
para que a igualdade seja verdadeira, cada elemento da Matrix deve ser igual ao elemento correspondente da outra matriz, obtendo
[tex3]\begin{cases}a-b=8\\b+c=1\\3d+c=7\\2a-4d=6\end{cases}[/tex3]
dividindo a quarta equação por [tex3]2[/tex3]
[tex3]\begin{cases}a-b=8\\b+c=1\\3d+c=7\\a-2d=3\end{cases}[/tex3]
na forma matricial essa equação fica
[tex3]\begin{bmatrix}1&-1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&3\\1&0&0&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\b\\c\\d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}8\\1\\7\\3\end{bmatrix}[/tex3]
da terceira equação
[tex3]3d+c=7\iff c=7-3d[/tex3]
da segunda equação e do encontrado acima
[tex3]b+c=1\iff b=1-c=1-(7-3d)=1-7+3d=3d-6[/tex3]
da primeira equação e do encontrado acima
[tex3]a-b=8\iff a=8+b=8+3d-8=2+3d[/tex3]
substituindo isso na quarta equação
[tex3]2a-4d=6\iff2(2+3d)-4d=6\iff 4+6d-4d=6\iff d=1[/tex3]
substituindo o valor de [tex3]d[/tex3] na quarta equação
[tex3]a-2d=3\iff a=3+2d=3+2=5[/tex3]
substituindo o valor de [tex3]a[/tex3] na primeira equação
[tex3]a-b=8\iff 5-b=8\iff b=-3[/tex3]
substituindo o valor de [tex3]b[/tex3] na segunda equação
[tex3]b+c=1\iff-3+c=1\iff c=4[/tex3]
obtemos portanto [tex3]a=5,b=-3,c=4,d=1[/tex3]
verificando esses valores
[tex3]\begin{bmatrix} a-b & & b+c \\ & & \\ 3d+c & & 2a-4d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 8 & & 1 \\ & & \\ 7 & & 6\end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix} (5)-(-3) & & (-3)+(4) \\ & & \\ 3(1)+(4) & & 2(5)-4(1)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 8 & & 1 \\ & & \\ 7 & & 6\end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix} 5+3 & &4-3\\ & & \\ 3+4 & & 10-4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 8 & & 1 \\ & & \\ 7 & & 6\end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix} 8 & & 1 \\ & & \\ 7 & & 6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 8 & & 1 \\ & & \\ 7 & & 6\end{bmatrix}[/tex3]