Ensino Médio ⇒ Conceitos Básicos de Geometria Plana Tópico resolvido

[Proomano]

No segmento [tex3]\overline{AB}[/tex3], toma-se um ponto C internamente, tal que [tex3]\frac{AC}{CB} = \frac{AB}{AC}[/tex3]. Determine o valor numérico da razão [tex3]\frac{CB}{AC}[/tex3].

Apostila Poliedro Tetra, Matemática 3, página 141, exercício 4.
Não possuo o gabarito.

[VALDECIRTOZZI]

Considere a figura:

Segmento proporcional.jpg (3.36 KiB) Exibido 790 vezes

Temos que:

[tex3]\frac{\overline{AC}}{\overline{CB}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}[/tex3], ou seja:
[tex3]\frac{x}{y}=\frac{x+y}{x}[/tex3] (I)

Queremos saber a razão: [tex3]\frac{\overline{CB}}{\overline{AC}}=\frac{y}{x}[/tex3]

Retomando I:
[tex3]\frac{x}{y}=\frac{x+y}{x}[/tex3]
[tex3]x^2=y\cdot (x+y)[/tex3]
[tex3]x^2=xy+y^2[/tex3]
[tex3]x^2-xy-y^2=0[/tex3]

Resolvendo a equação de 2º grau na variável [tex3]x[/tex3]:
[tex3]\Delta=(-y)^2-4 \cdot 1 \cdot (-y^2)[/tex3]
[tex3]\Delta=y^2+4y^2=5y^2[/tex3]

[tex3]x=\frac{-(-y)\pm \sqrt{5y^2}}{2}=\frac{y\pm y\sqrt5}{2}[/tex3]

Como os valores são segmentos de reta, só nos interessam os valores positivos:
[tex3]x=\frac{y\cdot (1+\sqrt5)}{2}[/tex3]
[tex3]\frac{y}{x}=\frac{2}{1+\sqrt5}=\frac{2 \cdot (1-\sqrt5)}{(1+\sqrt5)\cdot (1-\sqrt5)}=\frac{2 \cdot (1-\sqrt5)}{-4}=\frac{\sqrt5-1}{2}[/tex3]

Espero ter ajudado!

[Proomano]

Obrigada VALDECIRTOZZI! Se vc puder me ajudar com viewtopic.php?t=43991 que ninguém me respondeu ainda! Ficaria muito grata! *_________*