Ensino Fundamental ⇒ Demonstração Área Quadrilátero em Função das Diagonais

[Marcos]

As diagonais [tex3]D[/tex3] e [tex3]d[/tex3] de um quadrilátero convexo, não necessariamente regular, formam um ângulo agudo.Demonstre que a área desse quadrilátero é [tex3]\frac{D.d.\sin\theta }{2}[/tex3].

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Resolução:

[tex3]\Rightarrow[/tex3] No quadrilátero [tex3]ABCF[/tex3] da figura abaixo:

Sol..gif (4.65 KiB) Exibido 2796 vezes

[tex3]\Rightarrow[/tex3] Seja [tex3]E[/tex3] o ponto de intersecção das diagonais [tex3]D[/tex3] e [tex3]d[/tex3] e sejam [tex3]h_{1}[/tex3] e [tex3]h_{2}[/tex3] as alturas dos triângulos [tex3]ABC[/tex3] e [tex3]ACF[/tex3], respectivamente.Então temos:

[tex3]\begin{cases}
h_{1}=\overline{BE}.\sin\theta \\
h_{2}=\overline{FE}.\sin\theta
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\Rightarrow[/tex3] A área [tex3]S[/tex3] do quadrilátero é igual à soma das áreas dos triângulos [tex3]ABC[/tex3] e [tex3]ACF[/tex3], ou seja:

[tex3]S_{ABCF}=S_{ABC}+S_{ACF}[/tex3]
[tex3]S=\frac{\overline{AC}.h_{1}}{2}+\frac{\overline{AC}.h_{2}}{2}[/tex3]
[tex3]S=\frac{\overline{AC}.\overline{BE}.\sin\theta}{2}+\frac{\overline{AC}.\overline{FE}.\sin\theta}{2}[/tex3]
[tex3]S=\frac{\overline{AC}.(\overline{BE}+\overline{FE}).\sin\theta}{2}[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{S=\frac{D.d.\sin\theta }{2}}} \ \ (c.q.d)[/tex3]