Ensino Médio ⇒ Conjuntos Numéricos: Quadrado Perfeito Tópico resolvido

[Bru]

Seja [tex3]m[/tex3] o menor número inteiro tal que [tex3]999m[/tex3] é um quadrado perfeito. Qual é a soma dos dígitos de [tex3]m[/tex3]?

a) 3
b) 6
c) 13
d) 15
e) 18

[cajuADMIN]

Olá Bru,

Fatorando o [tex3]999[/tex3] temos

[tex3]999=3^3\cdot 37[/tex3]

Para que o número [tex3]999m[/tex3] seja um quadrado perfeito, seus fatores só podem ter expoentes pares. Ou seja, o fator [tex3]3[/tex3] tem expoente [tex3]3,[/tex3] portanto, se adicionarmos [tex3]1[/tex3] ao expoente, este passará a ser par. O [tex3]37[/tex3] tem expoente [tex3]1,[/tex3] devemos adicionar um para passar a ter expoente par.

Para adicionar estes expoentes, colocamos fatores iguais a [tex3]3[/tex3] e [tex3]37[/tex3] no [tex3]m.[/tex3] Ou seja, o valor de [tex3]m[/tex3] deve ser:

[tex3]m=3\cdot 37=111[/tex3]
Soma dos algarismos [tex3]= 1+1+1=3[/tex3]

Pois assim, o número pedido passa a ser:

[tex3]999\cdot 3\cdot 37=110889=3^4\cdot 37^2=333^2[/tex3]

Um quadrado perfeito.