Ensino Superior ⇒ Eliminação de Gauss Jordan Tópico resolvido

[iceman]

Resolver o sistema por eliminação de Gauss-Jordan>
[tex3]0 -2b+3c=1[/tex3]
[tex3]3a+6b-3c=-2[/tex3]
[tex3]6a+6b+3c=5[/tex3]

Agradeço quem puder me ajudar passo a passo. Obrigado!!1

[candre]

temos o sistema
[tex3]\begin{cases}-2b+3c=1\\3a+6b-3c=-2\\6a+6b+3c=5\end{cases}[/tex3]
na forma matricial temos
[tex3]\begin{bmatrix}0&-2&3\\3&6&-3\\6&6&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\-2\\5\end{bmatrix}[/tex3]
tendo que a matriz aumentada é
[tex3]\begin{bmatrix}0&-2&3&1\\3&6&-3&-2\\6&6&3&5\end{bmatrix}[/tex3]
temos que trocar duas linha ou soma uma linha por outra multiplicado por uma constante ou multiplicar uma linha inteira por uma constante nao muda o sistema, usando isso
[tex3]L_1\leftrightarrow L_2\\
\begin{bmatrix}0&-2&3&1\\3&6&-3&-2\\6&6&3&5\end{bmatrix}
\sim\begin{bmatrix}3&6&-3&-2\\0&-2&3&1\\6&6&3&5\end{bmatrix}\\
L_3\leftarrow L_3-2L_1\\
\begin{bmatrix}3&6&-3&-2\\0&-2&3&1\\6&6&3&5\end{bmatrix}
\sim\begin{bmatrix}3&6&-3&-2\\0&-2&3&1\\0&-6&9&9\end{bmatrix}\\
L_3\leftarrow L_3-3L_2\\
\begin{bmatrix}3&6&-3&-2\\0&-2&3&1\\0&-6&9&9\end{bmatrix}
\sim\begin{bmatrix}3&6&-3&-2\\0&-2&3&1\\0&0&0&6\end{bmatrix}\\
L_1\leftarrow L_1+3L_2\\
\begin{bmatrix}3&6&-3&-2\\0&-2&3&1\\0&0&0&6\end{bmatrix}
\sim\begin{bmatrix}3&0&6&1\\0&-2&3&1\\0&0&0&6\end{bmatrix}
\sim\begin{bmatrix}1&0&2&\frac13\\0&1&-\frac32&-\frac12\\0&0&0&1\end{bmatrix}[/tex3]
observe que chegamos a um absurdo na terceira linha tendo [tex3]0=1[/tex3], logo o sistema e imdeterminado impossivel (nao admitr soluções)

ps:
existe uma maneira que se acha por determinantes, temos que
[tex3]a=\frac{\Delta a}{\Delta},b=\frac{\Delta b}{\Delta},c=\frac{\Delta c}{\Delta}[/tex3]
onde [tex3]\Delta[/tex3] e a determinante da matriz dos coeficientes, por exemplo pegando o sistema que foi resolvido a matrix dos coeficiente e a marcada em vermelho
[tex3]{\color{red}\begin{bmatrix}0&-2&3\\3&6&-3\\6&6&3\end{bmatrix}}\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}={\color{green}\begin{bmatrix}1\\-2\\5\end{bmatrix}}[/tex3]
[tex3]\Delta a,Delta b, Delta[/tex3] e a determinante da matrix do coeficiente com a coluna correspondente a variavel trocada pelos coeficientes da matrix resultante (marcada em verde), sendo que a primeira coluna corresponde a variavel [tex3]a[/tex3], a segunda corresponde a variavel [tex3]b[/tex3] e a terceira corresponde a variavel [tex3]c[/tex3]
temos que se [tex3]\Delta=0[/tex3] entao ou o sistema tera infinitas soluções ou nao tera nenhuma, se voce aplicar isso vai ver que
[tex3]\Delta=0,\Delta a\ne0[/tex3]
o que nos diz que o sistema nao possui solução, conforme visto acima

[iceman]

temos o sistema
[tex3]\begin{cases}-2b+3c=1\\3a+6b-3c=-2\\6a+6b+3c=5\end{cases}[/tex3]
na forma matricial temos
[tex3]\begin{bmatrix}0&-2&3\\3&6&-3\\6&6&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\-2\\5\end{bmatrix}[/tex3]
tendo que a matriz aumentada é
[tex3]\begin{bmatrix}0&-2&3&1\\3&6&-3&-2\\6&6&3&5\end{bmatrix}[/tex3]
temos que trocar duas linha ou soma uma linha por outra multiplicado por uma constante nao muda o sistema, usando isso
[tex3]L_1\leftrightarrow L_2\\
\begin{bmatrix}0&-2&3&1\\3&6&-3&-2\\6&6&3&5\end{bmatrix}
\sim\begin{bmatrix}3&6&-3&-2\\0&-2&3&1\\6&6&3&5\end{bmatrix}\\
L_3\leftarrow L_3-2L_1\\
\begin{bmatrix}3&6&-3&-2\\0&-2&3&1\\6&6&3&5\end{bmatrix}
\sim\begin{bmatrix}3&6&-3&-2\\0&-2&3&1\\0&-6&9&9\end{bmatrix}\\
L_3\leftarrow L_3-3L_2\\
\begin{bmatrix}3&6&-3&-2\\0&-2&3&1\\0&-6&9&9\end{bmatrix}
\sim\begin{bmatrix}3&6&-3&-2\\0&-2&3&1\\0&0&0&6\end{bmatrix}[/tex3]
observe que chegamos a um absurdo na terceira linha tendo [tex3]0=6[/tex3], logo o sistema e imdeterminado impossivel (nao admitr soluções)

Olá, obrigado pela ajuda. Só fiquei com uma duvida>
Eu não preciso colocar primeiro os pivôs em cada linha ?