Ensino Fundamental ⇒ Radical Duplo Tópico resolvido

[cicero444]

Seja [tex3]x=\sqrt{-\sqrt{3}+8\sqrt{7+4\sqrt{3}}}[/tex3], calcule o valor de [tex3]x^{x^{x}}[/tex3].

[fabit]

O que conheço é [tex3]\sqrt{A\pm\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A+C}{2}}\pm\sqrt{\frac{A-C}{2}}\text{, onde }C=\sqrt{A^2-B}[/tex3]. Isso transforma um radical duplo em dois "candidatos" a radicais simples. Candidatos porque só ficam realmente simples quando A²-B é quadrado perfeito. Do contrário, a fórmula complica a expressão em vez de simplifica-la.

Vejamos o que se consegue com isso no caso do [tex3]x=\sqrt{-\sqrt{3}+8\sqrt{7+4\sqrt{3}}}[/tex3].

Com paciência...

[tex3]4\sqrt{3}=\sqrt{4^2\times3}=\sqrt{48}[/tex3] Logo [tex3]\sqrt{7+4\sqrt{3}}=\sqrt{7+\sqrt{48}}[/tex3]

Aqui temos [tex3]A=7[/tex3] e [tex3]B=48[/tex3] perfazendo [tex3]A^2-B=7^2-48=49-48=1[/tex3] e portanto [tex3]C=1[/tex3].

[tex3]\sqrt{7+4\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{7+1}{2}}+\sqrt{\frac{7-1}{2}}=2+\sqrt{3}[/tex3]

Substituindo, fica [tex3]x=\sqrt{-\sqrt{3}+8(2+\sqrt{3})}=\sqrt{16+7\sqrt{3}}[/tex3]

De novo...

[tex3]7\sqrt{3}=\sqrt{7^2\times3}=\sqrt{147}[/tex3] Logo [tex3]\sqrt{16+7\sqrt{3}}=\sqrt{16+\sqrt{147}}[/tex3]

Aqui temos [tex3]A=16[/tex3] e [tex3]B=147[/tex3] perfazendo [tex3]A^2-B=16^2-147=256-147=109[/tex3].

Posso ter errado em contas, mas não sei como continuar daí. Não era pra ter dado 109. Peço confirmação dos números (e das minhas contas) para podermos dar prosseguimento à solução.

Valeu!

[cicero444]

x=[tex3]\sqrt{-\sqrt{3}+8\sqrt{7+4\sqrt{3}}}[/tex3], calcule o valor de [tex3]x^{x^{x}}[/tex3].
A resposta correta e 16.

[fabit]

Pra dar 16, o x tem que ser 2, concorda? Pois [tex3]2^{2^2}=16[/tex3]

Então [tex3]x^2=4\Rightarrow-\sqrt{3}+8\sqrt{7+4\sqrt{3}}=4[/tex3]

Portanto [tex3]8\sqrt{7+4\sqrt{3}}=4+\sqrt{3}[/tex3]

Elevando ao quadrado, [tex3]64(7+4\sqrt{3})=16+3+2\times4\times\sqrt{3}[/tex3]. Isto é, [tex3]64\times7+256\sqrt{3}=19+8\sqrt{3}[/tex3]

Assim [tex3]248\sqrt{3}=19-64\times7<0[/tex3]. Absurdo.

Acho que os dados estão errados. Veja no seu círculo de estudos se alguém conhece essa questão.

Abs

[cicero444]

O radical e da forma [tex3]x=\sqrt{-\sqrt{3+\sqrt{3+8\sqrt{7+4\sqrt{3}}}}}[/tex3] peço desculpas, mas agora está certo os radicais, a resposta e [tex3]16[/tex3].

[fabit]

Ahn.

Aproveitando o que já tinha desenvolvido, [tex3]8\sqrt{7+\sqrt{3}}=8(2+\sqrt{3})=16+8\sqrt{3}[/tex3]

Substituindo, [tex3]x=\sqrt{-\sqrt{3+\sqrt{3+16+8\sqrt{3}}}}=\sqrt{-\sqrt{3+\sqrt{19+8\sqrt{3}}}}=\sqrt{-\sqrt{3+\sqrt{19+\sqrt{64\times3}}}}=\sqrt{-\sqrt{3+\sqrt{19+\sqrt{192}}}}[/tex3]

Com [tex3]A=19[/tex3] e [tex3]B=192[/tex3], [tex3]A^2-B=361-192=169=13^2[/tex3]. Logo [tex3]C=13[/tex3] e:
[tex3]\sqrt{19+\sqrt{192}}=\sqrt{\frac{19+13}{2}}+\sqrt{\frac{19-13}{2}}=\sqrt{16}+\sqrt{3}=4+\sqrt{3}[/tex3]

Com isso, [tex3]x=\sqrt{-\sqrt{3+4+\sqrt{3}}}=\sqrt{-\sqrt{7+\sqrt{3}}}[/tex3]

A raiz da soma de 7 com raiz de 3 nós já fizemos! Dá [tex3]2+\sqrt{3}[/tex3]

Então [tex3]x=\sqrt{-(2+\sqrt{3})}[/tex3]. Agora o problema é outro: trata-se de um número complexo. E não esqueçamos que depois de achar o x, faremos duas potências consecutivas com expoente complexo.

Desculpe a insistência, mas acho que ainda está copiado errado. [tex3]x[/tex3] não está dando 2.

[cicero444]

[tex3]x=\sqrt{-\sqrt{3}+\sqrt{3+8\sqrt{7+4\sqrt{3}}}}[/tex3]

[fabit]

Valeu!
Onde estávamos?

[tex3]\begin{cases}x=\sqrt{-\sqrt{3}+\sqrt{3+8\sqrt{7+4\sqrt{3}}}}\\\sqrt{7+4\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}\\\sqrt{19+8\sqrt{3}}=4+\sqrt{3}\end{cases}[/tex3]

Então [tex3]x=\sqrt{-\sqrt{3}+\sqrt{3+8(2+\sqrt{3})}}=\sqrt{-\sqrt{3}+\sqrt{19+8\sqrt{3}}}=\sqrt{-\sqrt{3}+4+\sqrt{3}}=\sqrt{4}=2[/tex3].

Logo [tex3]x^{x^x}=2^{2^2}=2^4=16[/tex3].