Ensino Médio ⇒ Progressão Aritmética de Segunda Ordem Tópico resolvido

[olgario]

É dada uma sequência [tex3](a_n),[/tex3] que não é necessariamente uma [tex3]PA[/tex3], com [tex3]a_1 = 3[/tex3] e [tex3]a_2 = 5.[/tex3] Sabe-se que as diferenças [tex3]b_n = a_{n+1}\, -\, a_n[/tex3] formam uma [tex3]\,PA[/tex3] de razão [tex3]3.[/tex3] Calcule [tex3]a_8[/tex3].

Atenciosamente
olgario

[olgario]

Alguém me sabe resolver esta ?
Devo acrescentar que a solução é : [tex3]a_8 = 80[/tex3].
Alguém tem uma ideia que diferenças são: [tex3]b_n = a_{n+1}-a_n[/tex3] que formam uma [tex3]PA[/tex3] de razão [tex3]3[/tex3] ?
Será a diferença entre os termos da sequência que não é necessariamente uma [tex3]PA[/tex3], em que [tex3]a_1 = 3[/tex3] e [tex3]a_2 = 5[/tex3], que origina a tal [tex3]PA[/tex3] de razão [tex3]3[/tex3] ?


Expetativamente
Olgario

[olgario]

Continuo com dúvidas na resolução desta questão. Se alguém tiver uma ideia de como se resolve, e me quiser ajudar fico grato.

[Natan]

Olá olgario,

vamos pegar a relação entre as sequências que foi dada e fazer [tex3]n=1:[/tex3]

[tex3]b_n=a_{n+1}-a_n \\ b_1=a_{2}-a_1=5-3=2[/tex3]

Como [tex3]b_n[/tex3] é uma PA de razão 3, podemos escreve-la: [tex3](2,\, 5,\, 8,\, 11,\, 14,\, 17,\, 20,...)[/tex3]

Assim fazendo [tex3]n[/tex3] variar de 2 a 7 na sequência [tex3]a_{n+1}=b_n+a_n[/tex3] chegaremos no elemento procurado de [tex3]a_n[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
n=2:\, a_3=b_2+a_2=5+5=10 \\ n=3:\, a_4=b_3+a_3=8+10=18 \\ n=4:\, a_5=b_4+a_4=11+18=29 \\ n=5:\, a_6=b_5+a_5=14+29=43 \\ n=6:\, a_7=b_6+a_6=17+43=60 \\ n=7:\, a_8=b_7+a_7=20+60=\boxed{80}
\end{cases}[/tex3]

Espero que tenha ficado claro, um grande abraço!