IME / ITA ⇒ (ITA - 1998) Geometria Plana: Triângulos Tópico resolvido

[WiLL]

Seja [tex3]ABC[/tex3] um triângulo isósceles de base [tex3]BC.[/tex3] Sobre o lado [tex3]AC[/tex3] deste triângulo considere um ponto [tex3]D[/tex3] tal que os segmentos [tex3]AD, BD, BC[/tex3] são todos congruentes entre si. A medida do angulo [tex3]B\hat{A}C[/tex3] é igual a:

a) [tex3]23^\circ[/tex3]
b) [tex3]32^\circ[/tex3]
c) [tex3]36^\circ[/tex3]
d) [tex3]40^\circ[/tex3]
e) [tex3]45^\circ[/tex3]

[cajuADMIN]

Olá Will,

O desenho indicado no enunciado fica da seguinte maneira:

AA66.png (26.31 KiB) Exibido 5846 vezes

Vamos chamar o ângulo [tex3]B\hat{A}C=\alpha[/tex3].

Note que o triângulo [tex3]BDA[/tex3] é isósceles também, pois [tex3]BD = DA.[/tex3] Sendo assim, temos que os ângulos [tex3]A\hat BD=B\hat AC=\alpha[/tex3]

Veja também que podemos concluir que o ângulo externo do triângulo [tex3]BDA,[/tex3] o ângulo [tex3]BDC[/tex3] vale [tex3]B\hat DC=2\alpha[/tex3].

Como o triângulo [tex3]BCD[/tex3] é isósceles também, pois [tex3]BC=BD,[/tex3] concluímos que os ângulos [tex3]BCD=BDC=2\alpha[/tex3].

Sabemos que a soma dos ângulos de um triângulo é sempre [tex3]180^\circ.[/tex3] No triângulo [tex3]ABC,[/tex3] só nos falta dar um valor para o ângulo [tex3]A\hat{B}C.[/tex3] Pela soma dos ângulos:

[tex3]A\hat BC+\alpha+2\alpha=180^{\circ}[/tex3]

[tex3]A\hat BC=180^{\circ}-3\alpha[/tex3]

Mas o triângulo [tex3]ABC[/tex3] é isósceles, ou seja:

[tex3]A\hat BC=A\hat CB[/tex3]

Substituindo os valores que temos para este dois ângulos, temos:

[tex3]180^{\circ}-3\alpha=2\alpha[/tex3]

[tex3]\alpha=36^{\circ}[/tex3]

[WiLL]

Obrigado Professor.

[cajuADMIN]

Só agora que fui me lembrar que já havia resolvido esse problema, mas tudo bem, fica o link aqui de qualquer jeito pra quem quiser ver a mesma demonstração narrada de outra maneira.

Triângulo Áureo