Ensino Médio ⇒ Área máxima de um triângulo e um semicírculo. Tópico resolvido

[Joãoantonio]

Considerando todos os triângulos que podem ser inscritos no semicírculo de diâmetro AB e raio R, a maior área possível que podemos obter para esses triângulos é igual a:

A resposta é [tex3]R^{2}[/tex3]

[poisedom]

Todo triângulo inscrito em um semicírculo é retângulo de hipotenusa 2R, logo a área desse triângulo é [tex3]S=\frac{2R\cdot H}{2}=R \cdot H[/tex3] (1)
como R é fixo, logo esse triângulo terá a maior área quando H for máximo.

triangulo retangulo.png (13.78 KiB) Exibido 4748 vezes

das relações métricas do triângulo retângulo temos que
[tex3]H^2=X\cdot(2R-X)[/tex3]
[tex3]y=H^2=-X^2+2RX[/tex3] que é uma função do [tex3]2^\circ[/tex3] grau, cujo o máximo é igual o y do vértice
[tex3]\Delta =b^2-4\cdot a \cdot c= (2R)^2-4\cdot (-1)\cdot 0=4R^2[/tex3]
[tex3]y_{vertice}=H^2_{max}=\frac{-\Delta }{4a}=\frac{-4R^2}{4\cdot(-1)}=R^2[/tex3]
[tex3]H^2_{max}=R^2[/tex3]
[tex3]H_{max}=R[/tex3] (2)

Substituindo (2) em (1) temos [tex3]S=R \cdot R = R^2[/tex3]