Ensino Superior ⇒ Campos conservativos Tópico resolvido

[LucasPinafiMOD]

Olá, senhores. Me auxiliem na resolução desse problema.
Calcule [tex3]\int_\gamma \frac{-y}{x^2+y^2}dx +\frac{x}{x^2+y^2}dy[/tex3] onde [tex3]\gamma:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2[/tex3] é uma curva de classe [tex3]C^1[/tex3] por partes, com imagem contida em [tex3]\Omega=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2| y>0\} \cup \{(x,y)\in \mathbb{R}^2|x<0\}[/tex3] tal que [tex3]\gamma(0)=(1,1)[/tex3] e [tex3]\gamma(1)=(-1,-1)[/tex3].

[LucasPinafiMOD]

Alguém ?

[LucasPinafiMOD]

Na verdade eu apenas quero uma primitiva de [tex3]P(x,y) dx +Q(x,y) dy[/tex3] em [tex3]\Omega[/tex3]. Depois disso fica bem fácil.

[Auto Excluído (ID:12031)]

[tex3]\frac{\partial U}{ \partial x} = \frac{-y}{x^2+y^2}[/tex3]
[tex3]U = - \arctg\(\frac xy\) + f(y)[/tex3]
[tex3]\frac{\partial U}{ \partial y} = f'(y) + \frac{x}{x^2+y^2}[/tex3]
então [tex3]f(y) = k[/tex3]

essa integral vale a diferença de potencial (ou menos ela ?)

que é [tex3]U(-1,-1) - U(1,1) = -\arctg(1) + k - (-\arctg(1) + k) = 0[/tex3]

[LucasPinafiMOD]

Consegui. De fato:
[tex3]\frac{-y}{x^2+y^2} dx+ \frac{x}{x^2+y^2}dy[/tex3] é uma forma diferencial exata no conjunto [tex3]\Omega[/tex3] dado. Assim, existe um campo escalar [tex3]\varphi: \Omega \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}[/tex3] tal que [tex3]\nabla \varphi=\vec{F}[/tex3] em [tex3]\Omega[/tex3]. O problema consiste em determinar [tex3]\varphi[/tex3].
Começamos no semi-plano [tex3]y>0[/tex3]. Temos que [tex3]\varphi_1(x,y) = \frac{\pi}{2}-\arctan \frac{x}{y},y>0[/tex3] é uma primitiva de [tex3]P(x,y) dx+Q(x,y) dy[/tex3] no semi-plano [tex3]y>0[/tex3]. Por outro lado, [tex3]\varphi_2 (x,y) = \arctan \frac{y}{x}, x<0[/tex3] é uma primitiva de [tex3]P(x,y)dx+Q(x,y)dy[/tex3] no semi-plano [tex3]x<0[/tex3].
Como funções com gradientes iguais devem diferir, por uma constante temos:
[tex3]k+\arctan \frac{y}{x}=\frac{\pi}{2}- \arctan \frac{x}{y}[/tex3]. Em (-1,1), temos:
[tex3]k+\arctan(-1)=\frac{\pi}{2}- \arctan(-1) \Rightarrow k-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}[/tex3]
[tex3]k=\pi[/tex3].
Já no plano x<0 e y<0, [tex3]\varphi_3 (x,y) =- \arctan \frac{x}{y}[/tex3] é uma primitiva de [tex3]P(x,y) dx+Q(x,y) dy[/tex3]. Logo:
[tex3]k_1- \arctan \frac{x}{y}=\pi +\arctan \frac{x}{y} \Rightarrow k_1=\frac{3\pi}{2}[/tex3]
Finalmente, temos que:
[tex3]\varphi (x,y) = \begin{cases}
\frac{\pi}{2}- \arctan \frac{x}{y}, y>0 \\
\pi , y=0 \\
\frac{3\pi}{2}- \arctan \frac{x}{y}, y<0
\end{cases}[/tex3]
Agora ficou fácil:
[tex3]\int_\gamma P(x,y) dx+Q(x,y) dy =[\varphi(x,y)]^{(-1,-1)}_{(1,1)}=\varphi(-1,-1)-\varphi(1,1)[/tex3]
[tex3]=\frac{3\pi}{2}-\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\pi[/tex3]
[tex3]\int_\gamma P(x,y) dx+Q(x,y) dy =\pi[/tex3]
acredito que é isso.