Ensino Superior ⇒ Teoria dos conjuntos. Mostre que: Tópico resolvido

[Pedrohpinho]

1- Seja E um conjunto e A1, A2,...,An subconjuntos de E. Mostre que:

[tex3]C_{E}\left ( \bigcap_{i=1}^{n} Ai\right ) = \bigcup_{i=1}^{n} C_{E}\left ( Ai \right )[/tex3]


2 - Use um argumento lógico para provar que a afirmação é verdadeira:

[tex3]A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)[/tex3]


Se alguém poder me ajudar...

Desde já agradeço.

[Ittalo25MOD]

A número 2:
É preciso provar que:

[tex3](A\cup (B\cap C) \subseteq (A\cup B)\cap (A\cup C))[/tex3] e [tex3](A\cup (B\cap C) \supseteq (A\cup B)\cap (A\cup C))[/tex3]

Vou provar a primeira daí você prova a segunda de modo análogo:

Se [tex3]x \in A\cup (B\cap C)[/tex3] então:

[tex3]\begin{cases}
(x\in A) \wedge (x\in (A\cap B))(I) \\
(x\in A) \wedge (x\notin (A\cap B))(II) \\
(x\notin A) \wedge (x\in (A\cap B))(III)
\end{cases}[/tex3]

Caso (I):

[tex3](x\in A) \wedge (x\in B) \wedge (x\in C)\rightarrow x\in ((A\cup B)\cap (A\cup C))[/tex3]

Caso (II)

[tex3](x\in A) \rightarrow x\in ((A\cup B)\cap (A\cup C))[/tex3]

Caso (III)

[tex3](x\in B) \wedge (x\in C)\rightarrow x\in ((A\cup B)\cap (A\cup C))[/tex3]