Olimpíadas ⇒ (EUA) Polígono Tópico resolvido

[gabrielifce]

Para quantos valores de n existirá um polígono regular de n lados tendo ângulos com medidas em graus inteiros?
Resposta 22

[Auto Excluído (ID:12031)]

o ângulo central vale [tex3]\frac{360}n[/tex3] tem um triângulo isósceles de lados iguais ao raio da circunferência circunscrita ao polígono e ângulo diferente sendo o ângulo central, então os outros ângulos desse triângulo são:

[tex3]180 = 2\alpha + \frac{360}n[/tex3]
[tex3]90 = \alpha + \frac{180}n[/tex3]
[tex3]\alpha = 90(1 - \frac{2}n)[/tex3]

o ângulo interno do polígono é:

[tex3]2\alpha = 180 - \frac{360}n[/tex3]

para o ângulo lateral ser inteiro basta o ângulo central ser inteiro, vejamos quantos divisores positivos o 360 tem
[tex3]360 = 6 \cdot 6 \cdot 10 = 3^2\cdot 5^1\cdot2^3[/tex3]
temos [tex3]3 \cdot 2 \cdot 4 = 24[/tex3]
porém tiramos os valores de [tex3]n=1[/tex3] e [tex3]n=2[/tex3] que não formam polígonos e ficamos com 22