Ensino Médio ⇒ Equação 4x4 Tópico resolvido

[Fernando1208]

Olá a todos, esse é meu segundo tópico onde no primeiro um jovem me ajudou e consegui resolver o resto dos exercicios usando o método por ele aplicado mas cheguei no último e travei.
[tex3]\begin{cases}
x-y+z-w=1 \\
2x+y+2z+w=0 \\
-3x+3y-z+2w=2 \\
x+y-z-2w=-1
\end{cases}[/tex3]
Preciso desse exercício usando o método da SUBSTITUIÇÃO, mas se alguém puder me ajudar e usar primeiro o método da substituição e depois um método melhor para resolver esse tipo de sistema e se esse método é aplicado para qualquer tipo de função...3x2,3x3,2x2...Obrigado.

[petrasMOD]

@Fernando1208,

(1) x - y + z - w = 1
(2) 2x + y + 2z + w = 0
(3) -3x + 3y - z + 2w = 2
(4) x + y - z - 2w = -1
Isolar x na Equação (1):x = 1 + y - z + w
Substituir esse x nas outras três:
Na (2): [tex3]2(1 + y - z + w) + y + 2z + w = 0 \implies 2 + 2y - 2z + 2w + y + 2z + w = 0 \therefore \mathbf{y = -w - \frac{2}{3}}[/tex3]
Na (3): -[tex3]3(1 + y - z + w) + 3y - z + 2w = 2 \implies-3 - 3y + 3z - 3w + 3y - z + 2w = 2 \therefore \mathbf{z = \frac{w + 5}{2}}[/tex3]
Na (4): [tex3](1 + y - z + w) + y - z - 2w = -1 \implies 1 + 2y - 2z - w = -1 \therefore 2y - 2z - w = -2[/tex3].
Substituir y e z na Equação (4):
$[tex3]2\left(-w - \frac{2}{3}\right) - 2\left(\frac{w + 5}{2}\right) - w = -2\\-2w - \frac{4}{3} - (w + 5) - w = -2\\-4w - \frac{4}{3} - 5 = -2 \implies-12w - 4 - 15 = -6 \therefore \mathbf{w = -\frac{13}{12}}.[/tex3]
[tex3]y = -(-\frac{13}{12}) - \frac{2}{3} = \frac{13}{12} - \frac{8}{12} = \mathbf{\frac{5}{12}}\\
z = \frac{(-\frac{13}{12}) + 5}{2} = \frac{\frac{-13 + 60}{12}}{2} = \frac{\frac{47}{12}}{2} = \mathbf{\frac{47}{24}}\\
x = 1 + \frac{5}{12} - \frac{47}{24} + (-\frac{13}{12})= \frac{24}{24} + \frac{10}{24} - \frac{47}{24} - \frac{26}{24}= -\frac{39}{24} \therefore \mathbf{x = -\frac{13}{8}}
[/tex3]
[tex3]S= \left\{ \left( -\frac{13}{8}, \frac{5}{12}, \frac{47}{24}, -\frac{13}{12} \right) \right\}[/tex3]

Por escalonamento:

Somando a Equação 1 com a Equação 4:
[tex3](x + x) + (-y + y) + (z - z) + (-w - 2w) = 1 + (-1) \implies 2x - 3w = 0 \implies \mathbf{x = \frac{3w}{2}}[/tex3]
(3L1+ L3)
[tex3]3 \cdot L1: 3x - 3y + 3z - 3w = 3 \implies L3: -3x + 3y - z + 2w = 2\\Soma: (3x - 3x) + (-3y + 3y) + (3z - z) + (-3w + 2w) = 3 + 2 \implies2z - w = 5 \implies \mathbf{z = \frac{5 + w}{2}}[/tex3]
Substituir tudo na Equação 2
[tex3]2x + y + 2z + w = 0 \implies 2(\frac{3w}{2}) + y + 2(\frac{5 + w}{2}) + w = 0\\3w + y + 5 + w + w = 0 \implies y + 5w + 5 = 0 \implies \mathbf{y = -5w - 5}[/tex3]
Agora usamos qualquer equação que ainda não usamos totalmente com esses novos valores.
Vamos usar a L1 original: x - y + z - w = 1
[tex3](\frac{3w}{2}) - (-5w - 5) + (\frac{5 + w}{2}) - w = 1(\time2):3w + 2(5w + 5) + (5 + w) - 2w = 2\\3w + 10w + 10 + 5 + w - 2w = 2 \implies12w + 15 = 2 \therefore\mathbf{w = -\frac{13}{12}}[/tex3]
[tex3]x = \frac{3}{2} \cdot (-\frac{13}{12}) = -\frac{39}{24} = \mathbf{-\frac{13}{8}}\\z = \frac{5 + (-13/12)}{2} = \frac{60/12 - 13/12}{2} = \frac{47/12}{2} = \mathbf{\frac{47}{24}}\\y = -5(-\frac{13}{12}) - 5 = \frac{65}{12} - \frac{60}{12} = \mathbf{\frac{5}{12}}[/tex3]