Ensino Médio ⇒ Imagem da função afim

[thaistorres]

Boa noite, pessoal!

Estou com dificuldades de encontrar o conjunto imagem da função afim. Já me disseram que sempre será o conjunto dos reais, (por que sempre os reais?????)

No exemplo, f(x) = x + 1, o menor valor da imagem seria 1, certo? Então, eu posso dizer que o conjunto imagem é x [tex3]\in[/tex3] [tex3]\mathbb{R}[/tex3] | x>1 ?? ou digo que são todos os reais? (segundo meu amigo, todos os reais)

Essa dúvida surgiu quando eu vi o seguinte problema: Ana dava aulas de matemática e cobrava R$15,00 no mínimo para dar aulas, e mais R$20,00 reais por hora extra, ficaria, f (x) = 20x + 15 (certo?) nesse caso, o conjunto imagem é x > 15.

Se tudo isso estiver certo, por que no primeiro exemplo seria todos os reais e no segundo maior que 15?

Obrigada!

[Ittalo25MOD]

Boa noite, pessoal!

No exemplo, f(x) = x + 1, o menor valor da imagem seria 1, certo? Então, eu posso dizer que o conjunto imagem é x [tex3]\in[/tex3] [tex3]\mathbb{R}[/tex3] | x>1 ?? ou digo que são todos os reais? (segundo meu amigo, todos os reais)

Imagem é os valores que f(x) pode assumir. No seu exemplo, f(x) = x+1, a imagem é infinita, veja:

se x = 1000000, então f(x) = 1000001.
se x = -100001, então f(x) = -100000.

Perceba que podemos escolher valores muito altos para x, e qualquer que seja esse valor escolhido, também vai transformar f(x) em um valor muito alto, assim segue até o infinito.

Essa dúvida surgiu quando eu vi o seguinte problema: Ana dava aulas de matemática e cobrava R$15,00 no mínimo para dar aulas, e mais R$20,00 reais por hora extra, ficaria, f (x) = 20x + 15 (certo?) nesse caso, o conjunto imagem é x > 15.

Nesse contexto, x não pode ser negativo, ora, não existe menos uma aula extra. O menor valor que x pode assumir é 0, que seria o caso de nenhuma aula extra:

se x=0, f(x) = 15

Então os valores de x e f(x) vão sempre aumentando:

se x = 1, f(x) = 35
se x= 2, f(x) = 55

E assim infinitamente.

Então, o menor valor que f(x) pode assumir é 15, e daí vai aumentando, portanto a imagem de f(x) = 20x + 15 é:

[tex3]f(x) \geq 15[/tex3]