IME / ITA ⇒ (EN - 1990) Equação Trigonométrica Tópico resolvido

[mvgcsdf]

Esta outra questão também me deixou intrigado. Quem puder ajudar, muito agradeço. O gabarito é letra D. Tinha achado letra B.
A equação [tex3]\text{tg}\,^2(2x) + 2\text{tg}\,(2x).\text{tg}\,(3x) = 1[/tex3] possui, no intervalo [tex3][0,\,2\pi],[/tex3]
a) 2 soluções
b) 6 soluções
c) 8 soluções
d) 12 soluções
e) 14 soluções

[marco_sx]

Olá mvgcsdf.
Acredito que essa seja a solução.

Primeiro vamos ver a condição de existência:

[tex3]\cos (2x)\neq0 \Rightarrow x\neq\frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}[/tex3], com k pertencente aos inteiros
[tex3]\cos (3x)\neq0 \Rightarrow x\neq\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}[/tex3], com k pertencente aos inteiros

Agora vejamos:

[tex3]\tg ^2(2x)+2\cdot \tg (2x)\cdot \tg (3x)=1 \Rightarrow 2\cdot \tg (2x)\cdot \tg (3x)=1-\tg ^2(2x) \Rightarrow \frac{2\cdot \tg (2x)}{1-\tg ^2(2x)}\cdot \tg (3x)=1 \Rightarrow[/tex3]
[tex3]\Rightarrow \tg (4x)\cdot \tg (3x)=1 \Rightarrow \sen (4x)\cdot \sen (3x)=\cos (4x)\cdot \cos (3x)[/tex3]

Multiplicando por (-2) os dois lados e aplicando prostaférese, temos:

[tex3]\cos (7x)-\cos (x)=-\cos (7x)-\cos (x) \Rightarrow \cos (7x)=0[/tex3]
Portanto: [tex3]x=\frac{\pi}{14}+\frac{k\pi}{7}[/tex3]
Para o intervalo [tex3][0,2\pi] \Rightarrow x\in{\frac{\pi}{14}, \frac{3\pi}{14},\frac{5\pi}{14},\frac{\pi}{2},\frac{9\pi}{14},\frac{11\pi}{14},\frac{13\pi}{14},\frac{15\pi}{14},\frac{17\pi}{14},\frac{19\pi}{14},\frac{3\pi}{2},\frac{23\pi}{14},\frac{25\pi}{14},\frac{27\pi}{14}} \Rightarrow[/tex3] 14 soluções

Mas pela condição de existência [tex3]x\neq\frac{\pi}{2}[/tex3] e [tex3]x\neq\frac{3\pi}{2}[/tex3]

Portanto, a equação apresenta 12 soluções.
Alternativa D

[mvgcsdf]

Valeu, cara!! Muito obrigado pela atenção despendida.