IME / ITA ⇒ (CN - 1996) Quadriláteros Tópico resolvido

[gabrielifce]

O número de trapézios distintos que se pode obter dispondo de 4, e apenas 4, segmentos de reta medindo, respectivamente, 1 cm, 2 cm, 4 cm e 5 cm é:

A) nenhum
B) um
C) dois
D) três
E) quatro

Resposta

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B

[Marcos]

Olá gabrielifce.Observe a solução:

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[tex3]\Rightarrow[/tex3] Sejam [tex3]a, b, c[/tex3] e [tex3]d[/tex3] os lados do trapézio.Ao traçar a paralela ao lado [tex3]b[/tex3], formamos o triângulo de lados [tex3]d[/tex3], [tex3]b[/tex3] e [tex3]c-a[/tex3].No triângulo cada lado é menor que a soma dos outros dois e maior que a diferença.

[tex3]\Rightarrow[/tex3] Assim,

[tex3]d<b+c-a[/tex3]
[tex3]\boxed{d+a<b+c}[/tex3] e [tex3]\boxed{d>|b+c-a|}[/tex3]

[tex3]\Rightarrow[/tex3] Desta relação podemos concluir que:

[tex3]1)[/tex3] [tex3]d+a=3[/tex3] [tex3](<4+5)[/tex3] ou [tex3]2)[/tex3] [tex3]d+a=5[/tex3] [tex3](<2+5)[/tex3]

[tex3]\Rightarrow[/tex3] Como [tex3]a[/tex3] é a base menor:

em [tex3]1)[/tex3] [tex3]a=1[/tex3] e [tex3]d=2[/tex3]
em [tex3]2)[/tex3] [tex3]a=1[/tex3] e [tex3]d=4[/tex3]

Portanto, a base menor somente poderá ser igual a [tex3]1[/tex3] e o lado [tex3]d[/tex3] igual a [tex3]2[/tex3] ou [tex3]4[/tex3].

[tex3]\Rightarrow[/tex3] Para [tex3]a=1[/tex3] e [tex3]d=2[/tex3], [tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] serão iguais a [tex3]4[/tex3] e [tex3]5[/tex3], não necessariamente nessa ordem.

Neste caso [tex3]2>|4+5-1| \rightarrow 2>|8| \ \ (Falso)[/tex3]

[tex3]\Rightarrow[/tex3] Para [tex3]a=1[/tex3] e [tex3]d=4[/tex3], [tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] serão iguais a [tex3]2[/tex3] e [tex3]5[/tex3], não necessariamente nessa ordem.

Neste caso [tex3]4>|2+5-1| \rightarrow 4>|6| \ \ (Falso)[/tex3]

Portanto, não se pode construir [tex3]\boxed{\boxed{nenhum}}[/tex3] trapézio [tex3]\Longrightarrow Letra: (A)[/tex3]

Resposta: [tex3]A[/tex3]