IME / ITA ⇒ (ITA - 1975) Geometria Espacial: Sólidos de Revolução Tópico resolvido

[paulo malicka musiau]

As medidas dos catetos de um triângulo retângulo são [tex3]\text{sen}\,(x)\,\text{cm}\,\, \text{e}\,\, \cos\,(x)\,\text{cm}.[/tex3] Um estudante calculou o volume do sólido gerado pela rotação deste triângulo em torno da hipotenusa, e obteve como resultado [tex3]\pi\,\text{cm}^3.[/tex3]
Considerando este resultado como certo, podemos afirmar que:

a) [tex3]x\,=\,\Large\frac{\pi}{6}\large\hspace{40pt}[/tex3] b) [tex3]x\,=\,\Large\frac{\pi}{3}\large\hspace{40pt}[/tex3] c) [tex3]x\,=\,\Large\frac{\pi}{4}\large\hspace{40pt}[/tex3] d) [tex3]x\,=\,\Large\frac{\pi}{5}\large\hspace{40pt}[/tex3] e) n.d.a.

Resposta:

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e

[cajuADMIN]

Olá Paulo,

• 

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O volume do sólido gerado pela rotação do triângulo retângulo [tex3]ABC[/tex3] em torno da hipotenusa [tex3]BC[/tex3] é igual à soma dos volumes de dois cones justapostos pela base. Logo,

• [tex3]\frac{1}{3}\cdot \pi\cdot \overline{AD}^2\cdot \overline{DC}+\frac{1}{3}\cdot \pi\cdot \overline{AD}^2\cdot \overline{BD}=\pi[/tex3]

• [tex3]\frac{1}{3}\cdot \overline{AD}^2\cdot (\underbrace{\overline{DC}+\overline{BD}}_1)=1\Longrightarrow \overline{AD}=\sqrt{3}\text{ cm}.[/tex3]

Por outro lado, como a hipotenusa do triângulo retângulo [tex3]ADC[/tex3] vale [tex3]\text{sen} x[/tex3] e o valor máximo que [tex3]\text{sen} x[/tex3] pode assumir é [tex3]1,[/tex3] não existe o triângulo retângulo [tex3]ADC[/tex3] de hipotenusa [tex3]\text{sen} x[/tex3] e cateto [tex3]\overline{AD}=\sqrt{3}\text{ cm}\approx 1,7\text{ cm}.[/tex3]

Resposta: (e).