Ensino Fundamental ⇒ Geometria Plana - Razão entre Regiões

[cicero444]

No retângulo [tex3]ABCD[/tex3] da figura, os pontos [tex3]M_1[/tex3], [tex3]M_2[/tex3], [tex3]M_3[/tex3], [tex3]M_4[/tex3] são pontos médios dos segmentos a que pertencem. Qual é a razão entre a área do quadrilátero [tex3]M_1M_2M_3M_4[/tex3] e a do retângulo [tex3]ABCD[/tex3]?

regiao retangular.png (13.28 KiB) Exibido 954 vezes

a) [tex3]\frac{7}{16}[/tex3]
b) [tex3]\frac{3}{16}[/tex3]
c) [tex3]\frac{7}{32}[/tex3]
d) [tex3]\frac{9}{32}[/tex3]
e) [tex3]\frac{1}{5}[/tex3]

Resposta

---

C

[fabit]

Vou adotar a notação de áreas utilizada pelo Wagner no PAPMEM: [tex3](ABC)=S[/tex3] significa que um triângulo ABC tem área S.

Minha sugestão para acompanhar, sem atropelos, o raciocínio que descreverei é fazer vários "retângulos ABCD limpos" à medida que vão sendo feitas comparações. E todas essas comparações se baseiam no fato de que, já que a fórmula da área de um triângulo é [tex3]S=0,5bh[/tex3] onde b é base e h é altura, é simples comparar áreas de triângulos que estejam compartilhando qualquer um desses elementos. Por exemplo, se dois triângulos possuem mesma base, então a razão entre suas áreas será a mesma que a razão entre suas respectivas alturas.

Começo aplicando esse princípio ao afirmar que [tex3](ADM_1)=\frac{1}{2}(ADC)[/tex3] (mesma altura AD e base CD dividida por 2). Como [tex3]\frac{(ADC)}{(ABCD)}=\frac{1}{2}[/tex3], podemos concluir que a fração para [tex3](ADM_1)[/tex3] é [tex3]\frac{1}{4}(ABCD)[/tex3] (pois vale "metade da metade" do ratângulo ABCD).

Obs: se o objetivo é encontrar a fração da área retangular ABCD, é conveniente atribuir-lhe valor unitário para não ter que ficar tão abstrato nas conclusões. Não há perda de generalidade nisto. Então, a partir de agora, [tex3](ABCD)=1[/tex3] (e aproveito para passar a limpo o que já obtive: [tex3]\boxed{(ADM_1)=\frac{1}{4}}[/tex3]). Procedendo desta forma, encontraremos para [tex3](M_1M_2M_3M_4)[/tex3] um valor numérico que já corresponderá a uma das alternativas.

Como [tex3](ABM_1)=(ABD)[/tex3] (mesma base AB e alturas congruentes), e [tex3](ABM_2)=\frac{1}{2}(ABM_1)[/tex3] (mesma base AB e altura dividida por 2, já que M2 é médio de AM1), temos [tex3]\boxed{(ABM_2)=\frac{1}{4}}[/tex3].

Já deu pra perceber como vou chegar à área [tex3](M_1M_2M_3M_4)[/tex3]? Basta pegar a [tex3](ABCD)[/tex3] e sair "lapidando" os triângulos que a cercam!

Agora temos que calcular [tex3](BCM_3)[/tex3]. Como M3 é médio de BM2, temos [tex3](BCM_3)=\frac{1}{2}(BCM_2)[/tex3] (mesma base BC e altura em relação a BC de M2 é o dobro da que parte de M3). Mas e esta [tex3](BCM_2)[/tex3]? Como fazer? Se quiser tentar sozinho, pare de ler um pouco e desenhe (talvez sem traçar o segmento M1M4 para ter uma figura menos entulhada de informações).





Dei um espaço maior para você não ver o que vem depois.





Como M2 é médio de AM1, a altura de M2 em relação a BC é a média aritmética das distâncias de A e de M1 em relação a BC. Assim, [tex3](BCM_2)=\frac{(BCM_1)+(BCA)}{2}=\frac{\frac{1}{4}+\frac{1}{2}}{2}=\frac{3}{8}[/tex3].

Logo [tex3]\boxed{(BCM_3)=\frac{3}{16}}[/tex3].

Só falta calcular [tex3](CM_1M_4)[/tex3]. É metade de [tex3](CM_1M_3)[/tex3] (mesma base CM1 e altura de M4 é metade da altura de M3).

Já [tex3](CM_1M_3)=\frac{(CM_1M_2)+(CM_1B)}{2}[/tex3] por raciocínio análogo ao que foi aplicado ao [tex3](BCM_2)[/tex3].

No numerador, a parte fácil é [tex3](CM_1B)=\frac{1}{2}(BCD)[/tex3] (mesma base BC e altura metade porque M1 é médio de CD). Então [tex3](CM_1B)=\frac{1}{4}[/tex3].

Por outro lado, [tex3](CM_1M_2)=\frac{1}{2}(CM_1A)[/tex3] (mesma base CM1 e altura metade já que M2 é médio de AM1). Por sua vez, [tex3](CM_1A)=\frac{1}{2}(CDA)[/tex3] (aqui é a altura que é comum aos dois triângulos, ficando a relação das áreas subordinada à razão entre as bases, que é 1/2).

Logo [tex3](CM_1M_2)=\frac{1}{8}[/tex3].

Portanto [tex3](CM_1M_3)=\frac{(CM_1M_2)+(CM_1B)}{2}=\frac{\frac{1}{8}+\frac{1}{4}}{2}=\frac{3}{16}[/tex3] e chegamos a [tex3]\boxed{(CM_1M_4)=\frac{3}{32}}[/tex3].

Somando, [tex3]\boxed{(ADM_1)+(ABM_2)+(BCM_3)+(CM_1M_4)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{3}{16}+\frac{3}{32}=\frac{8+8+6+3}{32}=\frac{25}{32}}[/tex3].

Finalmente [tex3](M_1M_2M_3M_4)=1-\frac{25}{32}=\boxed{\boxed{\frac{7}{32}}}[/tex3]. Letra C.

Tudo claro? Qualquer coisa, grite!

[zebacatela]

Primeiro vamos traçar dois segmentos auxiliares AM3 e M1M3 e descobrir 3 medianas que são: AM3 no [tex3]\Delta[/tex3] AM2B; M2M3 no [tex3]\Delta[/tex3] AM1M3 e M1M4 no [tex3]\Delta[/tex3] CM1M3. Obs: a mediana de um [tex3]\Delta[/tex3] divide esse triângulo em dois de mesma área. Sem perca de generalidade denotamos a área do quadrilátero ABCD de 2 u.a. ou seja AB=2 e BC=1. Para Calcular a área do [tex3]\Delta[/tex3] AM2B basta ver que sua altura é 1/2, pois M2 é ponto médio da hipotenusa AM1, bastando então traçar a base média do [tex3]\Delta[/tex3] M1DA para perceber isso. A área do [tex3]\Delta[/tex3] AM2B = 1/2 e pela observaçao da mediana temos: A área do [tex3]\Delta[/tex3] AM3B = área do [tex3]\Delta[/tex3] AM3M2 = área do [tex3]\Delta[/tex3] M1M2M3 = 1/4. No [tex3]\Delta[/tex3] AM3B sua altura relativa ao lado AB = 1/4 veja: 2*h/2 = 1/4, portanto h=1/4. A altura do [tex3]\Delta[/tex3] CM1M3 = 1 - 1/4 = 3/4, como M1 é ponto medio de CD sua área será 1*3/4 sobre 2 e a área do [tex3]\Delta[/tex3] CM1M3 = 3/8. Mas como M1M4 é mediana a área do [tex3]\Delta[/tex3] M1M3M4 = 3/16. A área do quadrilátero M1M2M3M4 ´e a soma das áreas dos triâgulos M1M2M3 + M1M3M4 = 1/4 + 3/16 = 7/16. Finalmente o solicitado. [tex3]\frac{area M1M2M3M4}{areaABCD} = \frac{7/16}{2} = \frac{7}{32}[/tex3],

portanto ítem "C" . Espero ter ajudado. Qualquer dúvida, é só listar.

Att; zebacatela