Ensino Médio ⇒ Média Aritmética e Média Geométrica Tópico resolvido

[giovane]

Se a média aritmética de a e b é o dobro da sua média geométrica, com a > b > 0 então, o inteiro mais próximo da razão [tex3]\frac{a}{b}[/tex3] é:

Gab: 14

[PedroCunha]

Olá, Giovane.

[tex3]M,A, = 2M.G. \therefore \frac{a+b}{2} = 2\sqrt{ab} \therefore a+b = 4\sqrt{ab} \therefore a^2+2ab+b^2 = 16ab \therefore \\\\ a^2 - 14ab + b^2 = 0 \Leftrightarrow \frac{a^2}{ab} - \frac{14ab}{ab} + \frac{b^2}{ab} = 0 \therefore \frac{a}{b} - 14 + \frac{b}{a} = 0, \frac{a}{b} = k, k > 0: \\\\ k - 14 + \frac{1}{k} = 0 \therefore k^2 - 14k + 1 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{14 \pm \sqrt{192}}{2}[/tex3]

Como queremos o inteiro mais próximo de [tex3]\frac{a}{b}[/tex3] e [tex3]a > b[/tex3], devemos ter [tex3]\frac{a}{b} > 1[/tex3]. Então, [tex3]\frac{a}{b} = \frac{14 + \sqrt{192}}{2} \approx 13,92[/tex3]

Logo, o inteiro mais próximo é 14.

Att.,
Pedro