Ensino Médio ⇒ Média Aritmética e Média Geométrica - Parte2 Tópico resolvido

[giovane]

Multiplicando-se por [tex3]\sqrt{2}[/tex3] a média geométrica de dois números inteiros positivos x e y, obtemos a média aritmética deles. Ache a razão [tex3]\frac{x}{y}[/tex3].

Gab: 3 [tex3]\pm[/tex3] 2 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

[LucasPinafiMOD]

[tex3]y=\sqrt{xy} \Rightarrow \sqrt{2} y =\sqrt{2xy}=\frac{x+y}{2}[/tex3]
[tex3]\sqrt{2xy}=\frac{x+y}{2} \Rightarrow 2xy= \frac{x^2+2xy+y^2}{4}[/tex3]
[tex3]6xy=x^2+y^2 \Rightarrow 6 \frac{x}{y}=\frac{x^2}{y^2}+1 \Rightarrow u^2-6u+1=0[/tex3], onde [tex3]u=\frac{x}{y}[/tex3].
Resolvendo,
[tex3]u^2-6u+1=0 \Rightarrow u=\frac{6 \pm 4\sqrt{2}}{2}=3 \pm 2\sqrt{2}[/tex3]
Disso, sai que [tex3]\frac{x}{y}=3 \pm 2 \sqrt{2}[/tex3]