Ensino Médio ⇒ Restos Tópico resolvido

[Natan]

Um número natural N deixa: resto 2 quando dividido por 3; resto 3 quando dividido por 7; e resto 19 quando dividido por 41. Qual é o resto da divisão do número k = (N + 1) . (N + 4) . (N + 22) por 861?

a) 0
b) 13
c) 19
d) 33
e) 43

Gostaria de ver uma solução usando congruência, e outra sem usar.

[Marcos]

Olá Natan.Observe a solução:

Resolvendo, temos:

[tex3]N=3\cdot q_{1}+2[/tex3]
[tex3]N=7\cdot q_{2}+3[/tex3]
[tex3]N=41\cdot q_{3}+19[/tex3]

Observe que [tex3]861=3.7.41[/tex3]

Assim

[tex3]N+1=3\cdot q_{1}+3 \ \ \ \ (divisivel\ \ por\ \ 3)[/tex3]
[tex3]N+4=3\cdot q_{2}+7 \ \ \ \ (divisivel\ \ por\ \ 7)[/tex3]
[tex3]N+22=41\cdot q_{3}+41 \ \ \ \ (divisivel\ \ por\ \ 41)[/tex3]

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[tex3]K=(N+1)\cdot (N+4)\cdot (N+22)[/tex3]
[tex3]K=\underbrace{N+1}_{\text{divisível por 3}} \cdot \underbrace{N+4}_{\text{divisível por 7}} \cdot \underbrace{N+22}_{\text{divisível por 41}} \Rightarrow K \text{ e divisível por } 861[/tex3]

[tex3]\blacktriangleright[/tex3] Qual é o resto da divisão do número [tex3]K=(N+1)\cdot (N+4)\cdot (N+22)[/tex3] por [tex3]861[/tex3] é [tex3]\boxed{\boxed{0}} \Longrightarrow Letra: (A)[/tex3]


Resposta: [tex3]A[/tex3]