IME / ITA ⇒ (Colégio Naval prova interna - 2015) Matrizes

[pgavp2012]

Considere a Matriz A=[tex3]\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
3 & 5 \\
\end{pmatrix}[/tex3] e a matriz B=[tex3]\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3],com [tex3]m \neq n\neq 0[/tex3], com m e n inteiros. Sendo a Matriz (MA+NB) inversível, determine a soma dos possíveis valores de N no intervalo de [-10,30].

Abraços, Valeu a quem puder dar uma ajuda!

[jedi]

[tex3]MA+NB=\begin{pmatrix}2M+N&M-N\\3M&5M+N\end{pmatrix}[/tex3]

[tex3]det\begin{pmatrix}2M+N&M-N\\3M&5M+N\end{pmatrix}\neq0[/tex3]

[tex3]7M^2+10MN+N^2\neq0[/tex3]

vamos encontrar então os valores de N que tornam a matriz inversível

[tex3]N^2+10MN+7M^2=0[/tex3]

[tex3]N=\frac{-10M\pm\sqrt{(10M)^2-4.7M^2}}{2}[/tex3]

[tex3]N=\frac{-10M\pm\sqrt{100M^2-28M^2}}{2}[/tex3]

[tex3]N=\frac{-10M\pm\sqrt{72M^2}}{2}[/tex3]

[tex3]N=\frac{-10M\pm6M\sqrt{2}}{2}[/tex3]

[tex3]N=-5M\pm3M\sqrt2[/tex3]

como M é um numero interior e [tex3]\sqrt2[/tex3] é um número irracional então não existe nenhum N e M inteiro que satisfaça essa condição portanto N pode ser qualquer número inteiro portanto a soma é de todos os numeros desse intervalo

[tex3]S=\frac{(-10+30)*40}{2}=400[/tex3]