Ensino Superior ⇒ Matemática Financeira: Parcelado ou à vista? Tópico resolvido

[economistajf]

Regina tem [tex3]2[/tex3] opções para o pagamento de um vestido:

i) À vista com [tex3]x\%[/tex3] de desconto;

ii) Em [tex3]2[/tex3] prestações mensais iguais sem juros, vencendo a primeira um mês após a compra.

Supondo que Regina pode aplicar seu dinheiro a [tex3]5\%[/tex3] a.m., para que valores de [tex3]x[/tex3] ela preferirá a primeira alternativa ?

[Karl Weierstrass]

Suponhamos que o preço do vestido sem o desconto seja de [tex3]p[/tex3] reais. pargando à vista, Regina desembolsará [tex3](1\,-\,x)p[/tex3] reais.

O valor de cada parcela na opção (ii) será [tex3]0,5p[/tex3].

Aplicando [tex3](1\,-\,x)p[/tex3] reais a juros de [tex3]5\%[/tex3] ao mês, Regina terá, após [tex3]30[/tex3] dias, [tex3]1,05\cdot\,(1\,-\,x)p[/tex3] reais. Efetuando o pagamento da primeira prestação, restará o saldo de

[tex3]\hspace{70 pt}1,05\,\cdot\,(1\,-\,x)p\,-\,0,5p\,=\,(0,55\,-\,1,05x)p[/tex3] reais.

Reaplicando este saldo à mesma taxa de [tex3]5\%,[/tex3] após um mês este valor montará em [tex3]1,05\,\cdot\,(0,55\,-\,1,05x)p\,=\,(0,5775\,-\,1,1025x)p.[/tex3] Finalmente, efetuando o pagamento da segunda parcela, restarão

[tex3]\hspace{70 pt}(0,5775\,-\,1,1025x\,-\,0,5)p\,=\,(0,0775\,-\,1,1025x)p[/tex3] reais.

Observe que existem três casos possíveis:

1º) [tex3]x[/tex3] é tal que a opção (i) é a mais vantajosa. Isto ocorre se a aplicação do saldo após o pagamento da 1ª parcela, não for suficiente para efetuar o pagamento da 2ª prestação. Nesse caso,

[tex3]\hspace{70 pt}(0,0775\,-\,1,1025x)p\,\lt\,0.[/tex3]

2º) [tex3]x[/tex3] é tal que a opção por qualquer dos planos é indiferente. Então [tex3](0,0775\,-\,1,1025x)p\,=\,0.[/tex3]

3º) [tex3]x[/tex3] é tal que a opção (ii) é a mais vantajosa. Neste caso [tex3](0,0775\,-\,1,1025x)p\,\gt\,0.[/tex3]

Portanto, devemos ter

[tex3]\hspace{70 pt}(0,0775\,-\,1,1025x)p\,\lt\,0\Longrightarrow\,x\,\gt\,0,07029\,\approx\,7,03\%.[/tex3]

Resposta: Regina preferirá a opção (i) se [tex3]x\,\gt\,7,03\%.[/tex3]