Ensino Superior ⇒ Geometria Analítica: Ponto Reta e Plano Tópico resolvido

[Drako]

Ajuda nesta questão, por favor.

Dados os pontos A(2,1,3), B (4 ,− 1,1) e o plano α : 2 x − y + 2 z − 3 = 0 ,
determine uma equação da reta r contida em α, tal que todo ponto de r é
equidistante dos pontos A e B.

Resposta

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2 x − y + 2 z − 3 = 0 ou x − y − z − 1 = 0

[fabit]

r será a interseção de [tex3]\alpha[/tex3] com o plano [tex3]\beta[/tex3] bissetor do segmento AB, pois o plano bissetor é o l.g. dos pontos que equidistam de A e B no espaço 3D.

Vou achar uma equação de [tex3]\beta[/tex3] e resolver o sistema formado pelas duas equações de planos que teremos.

Ponto médio de AB: [tex3]\frac{A+B}{2}=(3,0,2)[/tex3]
Vetor normal [tex3]\vec{AB}=B-A=(2,-2,-2)[/tex3] (posso usar (1,-1,-1) sem medo pois o vetor normal é só pra dar direção ao plano).

[tex3]\beta:\text{ }1(x-3)-1(y-0)-1(z-2)=0[/tex3] ou [tex3]\beta:\text{ }x-y-z-1=0[/tex3].

Agora [tex3]r=\alpha\cap\beta:\begin{cases}2x-y+2z-3=0\\x-y-z-1=0\end{cases}[/tex3]. Há livros que já classificam esse sistema como a equação da reta. Eu não gosto muito disso porque o sistema poderia ser impossível ou até ter grau de liberdade igual a 2, dependendo dos coeficientes (claro que dá pra ver, mas a estrutura fica, na minha opinião, frágil).

Aliás, o gabarito quase faz isso, mas erra ao usar a palavra "ou", que significa UNIÃO, quando na verdade o sistema (quando agrupamos informações por meio de chaves) é uma INTERSEÇÃO e deveria ser usada a palavra "e".

Prosseguindo, tomando x=0 o sistema fica [tex3]\begin{cases}-y+2z=3\\-y-z=1\end{cases}[/tex3]. Subtraindo, [tex3]3z=2\Rightarrow z=\frac{2}{3}[/tex3] e [tex3]y=-z-1=\frac{-2-3}{3}\Rightarrow y=-\frac{5}{3}[/tex3].

Logo o ponto [tex3]P=\(0,-\frac{5}{3},\frac{2}{3}\)\in r[/tex3].

Com x=1 o sistema fica [tex3]\begin{cases}-y+2z=1\\-y-z=0\end{cases}[/tex3]. Subtraindo, [tex3]3z=1\Rightarrow z=\frac{1}{3}[/tex3] e [tex3]y=-z\Rightarrow y=-\frac{1}{3}[/tex3]. Isso dá um ponto [tex3]Q=\(1,-\frac{1}{3},\frac{1}{3}\)\in r[/tex3].

Agora basta obter o vetor [tex3]\vec{PQ}=Q-P=(1,\frac{4}{3},-\frac{1}{3})[/tex3] e escrever a equação vetorial [tex3]r:\text{ }(x,y,z)=P+t\vec{PQ};t\in\mathbb{R}[/tex3] (Posso triplicar o vetor diretor, no mesmo espírito que simplifiquei o vetor normal do plano bissetor):
[tex3]r:\text{ }(x,y,z)=\(0,\frac{-5}{3},\frac{2}{3}\)+t(3,4,-1);t\in\mathbb{R}[/tex3]