Ensino Superior ⇒ Limite - Funções de várias variáveis

[Toplel94]

Verifique se o limite da seguinte função existe, no ponto [tex3](x,y) \rightarrow (0,0)[/tex3]

[tex3]f(x,y)=\dfrac{x^3+y^3}{x^2+y^2}[/tex3]

[jedi]

temos que

[tex3]\sqrt{x^2+y^2}<\delta[/tex3]

então

[tex3]\left|\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\right|=\left|\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{x^2+y^2}\right|[/tex3]

[tex3]\left|\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{x^2+y^2}\right|\leq\left|\frac{x^3}{x^2+y^2}\right|+\left|\frac{y^3}{x^2+y^2}\right|[/tex3]

mas

[tex3]x^2<x^2+y^2[/tex3]

e

[tex3]y^2<x^2+y^2[/tex3]

portanto

[tex3]\frac{x^2}{x^2+y^2}<1[/tex3]
e

[tex3]\frac{y^2}{x^2+y^2}<1[/tex3]

[tex3]\left|\frac{x^3}{x^2+y^2}\right|+\left|\frac{y^3}{x^2+y^2}\right|\leq|x|+|y|[/tex3]

mas

[tex3]|x|\leq\sqrt{x^2+y^2}[/tex3]

[tex3]|y|\leq\sqrt{x^2+y^2}[/tex3]

então

[tex3]\left|\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\right|\leq2\sqrt{x^2+y^2}[/tex3]

[tex3]\left|\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\right|\leq2\delta[/tex3]

portanto

quando

[tex3]\sqrt{x^2+y^2}<\delta[/tex3]

[tex3]\left|f(x,y)\right|<2\delta[/tex3]

sendo assim [tex3]\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0[/tex3]