IME / ITA ⇒ (ITA - 1985) Números Complexos Tópico resolvido

[Karl Weierstrass]

Seja [tex3]a[/tex3] um número real. Os valores de [tex3]z \in \mathbb{C}[/tex3] que satisfazem [tex3]\left(\frac{a + z^{10}}{1+i}\right).\left(\frac{a + \overline{z}^{10}}{1-i}\right)[/tex3] [tex3]\in \mathbb{R}[/tex3] são:

a) [tex3]z\,=\,-a\,+\,i\sqrt[10]{|a|}.[/tex3]

b) Não é possível determiná-los.

c) [tex3]z\,=\,-i\sqrt[10]{|a|}.[/tex3]

d) Não existe [tex3]z\,\in\,\mathbb{C}[/tex3] tal que isso aconteça.

e) Todo [tex3]z\,\in\,\mathbb{C}.[/tex3]




[tex3]\,[/tex3]

[triplebig]

Reescrevendo:

[tex3]{\frac{a^2 + a z^{10} + a \overline{z}^{10} + |z|^{20}}{2}}[/tex3]

Como [tex3]|z|[/tex3] é real, o número (colocado o [tex3]a[/tex3] em evidência)

[tex3]z^{10}\,+\,\overline{z}^{10}[/tex3]

Tem que ser real.

Supondo que [tex3]\begin{cases}z\,=\,k\,(\cos\,\alpha\,+\,i\sen\,\alpha) \\ \overline{z}\,=\,k\,(\cos\,\alpha\,-\,i\sen\,\alpha)\end{cases}[/tex3]:

[tex3]k^{10}\,(\cos\,10\alpha\,+\,i\sen \,10\alpha\,+\,\cos\,10\alpha\,-\,i\sen \,10\alpha)[/tex3]

[tex3]=\,k^{10}\,\cdot\,2\,\cos\,10\alpha\,\,\Rightarrow\,\,[/tex3] real.

Logo, a expressão acima sempre assumirá um valor real, letra [tex3]\boxed{e}[/tex3]