Ensino Superior ⇒ Equação do Plano Tangente - Plano Paralalelo Tópico resolvido

[raimundojr]

Determine uma equação do plano que é paralelo ao plano z=2x+y e é também tangente ao gráfico da função f(x, y)=x²+y².

Comentário: Sei que pelo menos um vetor normal ao plano pode ser calculado por [tex3]\vec{n}=(\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0}, y_{0}), \frac{\partial f}{\partial y}(x_{0}, y_{0}), -1)[/tex3].

[LucasPinafiMOD]

O feixe de planos paralelos a um plano de equação [tex3]ax+by+cz+d=0[/tex3] é dado por
[tex3]ax+by+cz+\alpha=0, \alpha \in \mathbb{R}[/tex3]
Assim, o plano que queremos deve ter equação:
[tex3]2x+y-z=0[/tex3]
Como:
[tex3]\nabla f(x_0,y_0,z_0) [(x,y,z) -(x_0,y_0,z_0 )]=0[/tex3] é a equação do plano tangente ao gráfico de f(x,y,z), sendo [tex3]f(x,y,z) =x^2+y^2-z[/tex3]
[tex3]\nabla f(x,y,z) = (2x,2y,-1) \Rightarrow \nabla f(x_0,y_0,z_0) =(2x_0,2y_0,-1)[/tex3]
Assim:
[tex3](2x_0,2y_0,-1) (x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0 \Rightarrow 2x_0(x-x_0)+2y_0(y-y_0) -z+z_0=0[/tex3]
[tex3]2x_0 x+2y_0 y-z- y_0^2 -x_0^2 =0[/tex3]
Comparando essa equação com [tex3]2x+y-z=0[/tex3], encontramos que:
[tex3]x_0=1, y_0=1[/tex3], logo a equação do plano é [tex3]2x+2y-z=2[/tex3]