IME / ITA ⇒ (IME 2002) Geometria Plana / PG

[poti]

Dada numa circunferência de raio R, inscreve-se nela um quadrado. A seguir, inscreve-se uma circunferência neste quadrado. este processo se repete indefinidamente para o interior da figura de maneira que cada quadrado estará sempre inscrito em uma circunferência e simultaneamente circunscrito por outra. Calcule, em função de R, a soma das áreas delimitadas pelos lados dos quadrados e pelas circunferências que os circunscrevem, conforme mostra a figura.

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Por ser do IME parece ser relativamente simples, mas não tive Progressão ainda, se alguem puder me ajudar na parte da PG agradeço.

Resposta:

Resposta

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[tex3]2(\pi - 2)R^2[/tex3]

[Thadeu]

Essa é uma PG infinita onde o primeiro termo é [tex3]a_1=A_{circ}-A_{quad}[/tex3]
[tex3]A_{circ}=\pi R^2[/tex3]
A diagonal do quadrado é igual ao diâmetro da circunferência... então, calculando a área do quadrado de lado [tex3]l[/tex3]
[tex3]d=2R\,\Rightarrow\,l^2+l^2=(2R)^2\,\Rightarrow\,2l^2=4R^2\,\Rightarrow\,l^2=2R^2[/tex3]

Logo, [tex3]a_1=\pi R^2-2R^2\,\Rightarrow\,a_1=(\pi-2)R^2[/tex3]

A segunda circunferência possui raio igual a metade do lado do primeiro quadrado, [tex3]R_2=\frac{l}{2}=\frac{R \sqrt{2}}{2}[/tex3] e área igual a
[tex3]A_2=\pi R_2^2\,\Rightarrow\,A_2=\pi \( \frac{R \sqrt{2}}{2}\)^2\,\Rightarrow\,A_2=\frac{\pi R^2}{2}[/tex3]

O segundo quadrado possui a diagonal igual ao diâmetro da segunda circunferência (usando o mesmo processo do primeiro quadrado)
[tex3]d_2=2R_2\,\Rightarrow\,2l_2^2=(R \sqrt{2})^2\,\Rightarrow\,l_2^2=R^2[/tex3]

Logo [tex3]a_2=\frac{\pi R^2}{2}-R^2\,\Rightarrow\,a_2=\(\frac{\pi}{2}-1\)R^2[/tex3]

A razão da PG é [tex3]q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{\(\frac{\pi}{2}-1\)R^2}{(\pi-2)R^2}\,\Rightarrow\,q=\frac{1}{2}[/tex3]

A soma de todas as áreas é igual à soma da PG infinita [tex3]S=\frac{a_1}{1-q}[/tex3]
[tex3]S=\frac{(\pi-2)R^2}{1-\frac{1}{2}}\,\Rightarrow\,S=\frac{(\pi-2)R^2}{\frac{1}{2}}\,\Rightarrow\,S=2R^2(\pi-2)[/tex3]

[brunoafa]

Questão muito foda.

Ficar pensando em qual é o novo lado do quadrado, novo raio e etc me confundiu bastante e até agora não consegui visuliazar direito.

O grande problema é achar a razão, usar a fórmula da Soma da PG infinita depois é mamão com açúcar.