IME / ITA ⇒ Anagramas e o Princípio da Inclusão-Exclusão Tópico resolvido

[rgsantos]

Quantas são as permutações das letras da palvra [tex3]MUSSUM[/tex3] nas quais não existem letras consecutivas iguais?

Resposta:

---

30

[triplebig]

Vou fazer por fixação, usando as letras [tex3]M[/tex3]. Depois, é só multiplicar por [tex3]3[/tex3].

_ _ _ _ _ _ em ordem são as casas 1 2 3 4 5 e 6.


(1) M _ M _ _ _

Casa 2: 2 possibilidades

Casa 4: 1 possibilade (não pode repetir o da casa 2)

Casa 5 e 6: 1 possibilidade

Total(1): 2 . 1 . 1 = 2 possibilidades


(2) M _ _ M _ _

Casa 2: 2 possibilidades

Casa 3: 1 possibilidade

Casa 5: 2 possibilidades

Casa 6: 1 possibilidade

Total(2): 2 . 1 . 2 . 1 = 4 possibilidades


(3) M _ _ _ M _

Casa 2: 2 possibilidades

Casa 3, 4, e 5: 1 possibilidade

Total(3) = 2 . 1 = 2 possibilidades


(4) M _ _ _ _ M

Casa 2: 2 possibilidades

Casa 3, 4, 5: 1 possibilidade

Total(4) = 2 . 1 = 2 possibilidades


Assim, para a letra M são 2 + 2 + 4 + 2 = 10 possibilidades.

com S e U vai ser a mesma coisa. Assim, basta multiplicar por 3:

[tex3]\boxed{30}[/tex3]

[Karl Weierstrass]

Sejam os eventos:

• [tex3]M[/tex3]: letras [tex3]M[/tex3] juntas;
  
  [tex3]U[/tex3]: letras [tex3]U[/tex3] juntas e
  
  [tex3]S[/tex3]: letras [tex3]S[/tex3] juntas.

Temos que

• [tex3]n(M)\,=\,n(S)\,=\,n(U)\,=\,P_5^{(2,2)}\,=\,\Large\frac{5!}{2!\,\cdot\,2!}\large\,=\,30;[/tex3]
  [tex3]n(M\,\cap\, U)\,=\,n(M\,\cap\, S)\,=\,n(U\,\cap \,S)\,=\,P_4^{(2)}\,=\,\Large\frac{4!}{2!}\large\,=\,12[/tex3]

e

• [tex3]n(M\,\cap \,U\,\cap\, S)\,=\,P_3\,=\,3!\,=\,6.[/tex3]

Pelo princípio da Inclusão-Exclusão, vem

• [tex3]n(M\cup U\cup S)=n(M)+n(S)+n(U)-n(M\cap U)-n(M\cap S)-n(U\cap S)+n(M\cap U\cap S)[/tex3]
  
  [tex3]n(M\cup U\cup S)=\,30\,+\,30\,+\,30\,-\,12\,-\,12\,-\,12\,+\,6\,=\,60.[/tex3]

Como existem [tex3]P_6^{(2,2,2)}=\,\Large\frac{6!}{2!\,\cdot\,2!\,\cdot\,2!}\large\,=\,90[/tex3] anagramas com as letras da palavra [tex3]MUSSUM,[/tex3] segue que o resultado pedido é [tex3]90\,-\,60\,=\,30.[/tex3]


[tex3](*)\,\,P_n^{(n_1)}[/tex3] denota o número de permutações de [tex3]n[/tex3] objetos repetidos ou não, com [tex3]n_1[/tex3] objetos repetidos.

[rgsantos]

Karl ,e triplebig.

Obrigado pela ajuda...
foi de muita ajuda!!

Karl
Tu sabes um site que fala mais sobre esse princípio da inclusão-exclusão?

abraços!

mais uma vez obrigado!

[Karl Weierstrass]

Olá Santos,

Mathworld.

O livro Análise Combinatória e Probabilidade de Augusto César de Oliveira Morgado e outros, editado pela SBM, é outra referência.

Você deverá achar mais no Google.

Abraço.

[rgsantos]

Maravilha.

Eu tenho o vol. 5 da coleção Fundamentos de Matemática Elementar. É um bom livro?

Vou olhar esse aí do morgado!

Abraços
obrigado!

[Karl Weierstrass]

Sim, mas o outro é o melhor livro de Combinatória de autores brasileiros e, além disso, mais barato. Também apresenta todas as soluções dos exercícios.

Somente para esclarecer, o Princípio da Inclusão-Exclusão é mostrado no volume 1 (no final do capítulo II) e no volume 5 (Teorema 4, capítulo III). Mas não é mencionado como Princípio da Inclusão-Exclusão.