Pré-Vestibular ⇒ Polinômios (BAHIANA DE MEDICINA)

[APSmed]

Como o dinheiro está entre os atributos que se supõe trazer felicidade, uma grande parcela da população vê, nos jogos de loteria, a
esperança de realização de sonhos como ter carro, casa própria, fazer viagens, ajudar a família etc.
Com esse propósito, X costuma jogar na Mega Sena e usa diferentes critérios para a escolha dos números para cada aposta que faz.
Certo dia, enquanto estudava funções polinomiais, teve a ideia de fazer um jogo utilizando de P(x) = 2x3 – 30x2 + 108x – 80
• as raízes,
• a soma dessas raízes,
• o produto dessas raízes,
• a soma dos produtos dessas raízes consideradas duas a duas.
Com base nessas informações determine os números que X escolheu para fazer o referido jogo

Não tem gabarito a questão. Eu encontrei os três ultimos pontos, mas a parte de achar as raízes, não consegui, então só precisa da resolução do primeiro ponto.

[APSmed]

Já foi respondida, só que o usuário que respondeu retirou a resposta.

[ttbr96]

[tex3]P(x) = 2x^3 - 30x^2 + 108x - 80[/tex3] (dividido por 2)

[tex3]P(x) = x^3 - 15x^2 + 54x - 40[/tex3]

sendo p = 40 e q = 1

então, os divisores de:
[tex3]p = d_{40} = \{ \pm1, \pm2, \pm4, \pm5, \pm8, \pm10, \pm20, \pm40 \} \\\\\\
q = d_1 = \{ \pm1 \}[/tex3]

assim, as raízes possíveis são:
[tex3]\frac{p}{q} = \{\pm1, \pm2, \pm4, \pm5, \pm8, \pm10, \pm20, \pm40\}[/tex3]

se:
[tex3]x = 1 \Rightarrow P(1) = 1 - 15 + 54 - 40 = 0[/tex3] (logo, 1 é uma das raízes)

agora, por Briof-Ruffini, encontraremos que [tex3]Q(x) = x^2 - 14x + 40[/tex3]

resolvendo a equação, econtraremos: [tex3]x_1 = 4 \,\,\, e \,\,\, x_2 = 10[/tex3]

portanto, as raízes são: {1, 4, 10}