Olimpíadas ⇒ (Hong kong-1997) Polinômios Tópico resolvido

[gabrielifce]

Se a, b, c são raízes da equação [tex3]x^{3}[/tex3]-2 [tex3]x^{2}[/tex3]-3x-4=0. O valor da expressão [tex3]\frac{a^{5}-b^{5}}{a-b} + \frac{b^{5}-c^{5}}{b-c} + \frac{c^{5}-a^{5}}{c-a}[/tex3]

Resposta

---

183

[Ittalo25MOD]

Não consegui deixar muito em ordem a resolução....

[tex3]\frac{a^{5}-b^{5}}{a-b}+\frac{b^{5}-c^{5}}{b-c}+\frac{c^{5}-a^{5}}{c-a} =[/tex3]

[tex3]\frac{(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)}{a-b}+\frac{(b-c)(b^4+b^3c+b^2c^2+bc^3+c^4)}{b-c}+\frac{(c-a)(c^4+c^3a+c^2a^2+ca^3+a^4)}{c-a} =[/tex3]

vamo supor esses fatores diferentes de zero pra ver no que dá.

[tex3](2a^4+2b^4+2c^4)+(a^3b+ca^3)+(a^2b^2+c^2a^2+b^2c^2)+(ab^3+b^3c)+(bc^3+c^3a) =[/tex3]

[tex3](2a^4+2b^4+2c^4)+a^3.(b+c)+(a^2b^2+c^2a^2+b^2c^2)+b^3(a+c)+c^3(b+a) =[/tex3]

[tex3](2a^4+2b^4+2c^4)+a^3.(2-a)+(a^2b^2+c^2a^2+b^2c^2)+b^3(2-b)+c^3(2-c) =[/tex3]

[tex3](a^4+b^4+c^4)+(a^2b^2+c^2a^2+b^2c^2)+2.(a^3+b^3+c^3) =[/tex3]

---------------------------------------------------------------------------------------------

[tex3](a^3+b^3+c^3) = (a+b+c)^3-3.(a+b+c).(ab+bc+ac)+3abc[/tex3]

[tex3](a^3+b^3+c^3) = (2)^3-3.(2).(-3)+3.4[/tex3]

[tex3](a^3+b^3+c^3) = 38[/tex3]


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

[tex3](a^2+b^2+c^2)^2 = (a^4+b^4+c^4)+2.(a^2b^2+c^2a^2+b^2c^2)[/tex3]

[tex3](a^2+b^2+c^2)^2-2.(a^2b^2+c^2a^2+b^2c^2) = (a^4+b^4+c^4)[/tex3]

[tex3]114 = (a^4+b^4+c^4)[/tex3]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

[tex3](a+b+c) = 2[/tex3]

[tex3](a^2+b^2+c^2)+2.(ac+bc+ab) = 4[/tex3]

[tex3](a^2+b^2+c^2) = 4-2.(ac+bc+ab)[/tex3]

[tex3](a^2+b^2+c^2)^2 =16-16.(ac+bc+ab)+4.(ac+bc+ab)^2[/tex3]

[tex3](a^2+b^2+c^2)^2 =16-16.(-3)+4.(-3)^2[/tex3]

[tex3](a^2+b^2+c^2)^2 =100[/tex3]

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

[tex3](ab+bc+ac)^2 = (a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2) + 2.(a.abc + b.abc + c.abc)[/tex3]

[tex3](ab+bc+ac)^2 = (a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2) + 2abc.(a + b + c)[/tex3]

[tex3](ab+bc+ac)^2 - 2abc.(a + b + c)= (a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)[/tex3]

[tex3](-3)^2 - 2.(4).(2)= (a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)[/tex3]

[tex3]-7= (a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)[/tex3]

-------------------------------------------------------------------------------------------

[tex3](a^4+b^4+c^4)+(a^2b^2+c^2a^2+b^2c^2)+2.(a^3+b^3+c^3) =[/tex3]

[tex3]114-7+2.38 = 183[/tex3]