Ensino Médio ⇒ Trigonometria: Redução ao 1º Quadrante Tópico resolvido

[bruno65]

Calcule o valor de [tex3]N[/tex3]:

a) [tex3]N\, =\, \text{sen}\, \Large\frac{13\pi}{4}\large \, -\, \text{tg}\, \Large\frac{7\pi}{6}\large \,+\, \sec\, \Large\frac{9\pi}{4}\large\,+\, \text{cossec}\,\Large\frac{7\pi}{3}\large[/tex3]

b)[tex3]N\,=\,\Large\frac{\text{sen}\,225^\circ - \cos 150^\circ}{\text{tg}\,300^\circ}\large[/tex3]

[Natan]

Primeiro vamos escrever a equação com os valores em graus:

[tex3]\text{sen}\,585^\circ\,-\,\text{tg}\,210^\circ\,+\,\sec\,405^\circ+\text{cossec}\,420^\circ[/tex3]

[tex3]\text{sen}\,585^\circ[/tex3]

Calculando a mdp de [tex3]585^\circ[/tex3]: [tex3]585^\circ\,=\,225^\circ\,+\,1\,\cdot\,360^\circ[/tex3], agora reduzindo [tex3]225^\circ[/tex3] ao primeiro quadrante achamos [tex3]45^\circ[/tex3], ou seja: [tex3]\text{sen}\,225^\circ\,=\,-\text{sen}\,45^\circ\,=\,-\frac{\sqrt2}{2}[/tex3], logo [tex3]\text{sen}\,585^\circ\,=\,-\frac{\sqrt2}{2}[/tex3].

[tex3]\text{tg}\,210^\circ[/tex3]

Reduzindo ao primeiro quadrante achamos [tex3]30^\circ\,=\,210^\circ\,-\,180^\circ,[/tex3] logo [tex3]\text{tg}\,210^\circ\,=\,\text{tg}\,30^\circ\,=\,\frac{\sqrt3}{3}[/tex3].

[tex3]\sec\,405^\circ[/tex3]

Calculando a mdp de [tex3]405^\circ :[/tex3] [tex3]405^\circ\,=\,45^\circ\,+\,1\,\cdot\,360^\circ[/tex3], logo [tex3]\cos\,405^\circ\,=\,\cos\,45^\circ\,=\,\frac{\sqrt2}{2}[/tex3], como [tex3]\sec\,=\,\frac{1}{cos},[/tex3] então [tex3]\sec\,405^\circ\,=\,\sqrt 2[/tex3].

[tex3]\text{cossec}\,420^\circ[/tex3]

Calculando a mdp de [tex3]420^\circ[/tex3] : [tex3]420^\circ\,=\,60^\circ\,+\,1\,\cdot\,360^\circ[/tex3], logo [tex3]\text{sen}\,420^\circ\,=\,\text{sen}\,60^\circ\,=\,\frac{\sqrt3}{2}[/tex3], como [tex3]\text{cossec}\,=\,\frac{1}{\text{sen}}[/tex3], então [tex3]\text{cossec}\,420^\circ\,=\,2.[/tex3]

Agora basta substituir nos valores dados na equação:

[tex3]{-\frac{\sqrt2}{2}}\,-\,\frac{\sqrt3}{3}\,+\,\sqrt 2\,+\,2\,=\,\frac{3\sqrt 2\,-\,2\sqrt 3\,+\,12}{6}[/tex3]

Ta ai, acho que é isso!!!

[Natan]

Vou colocar aqui a resolução da letra (b)

[tex3]\text{sen}\,225^\circ[/tex3]

Reduzindo ao primeiro quadrante achamos [tex3]45^\circ \,=\, 225^\circ \, -\, 180^\circ ,[/tex3] logo [tex3]\text{sen}\,225^\circ \, = \,- \text{sen}\,45^\circ \,=\, -\frac{\sqrt 2}{2}[/tex3].

[tex3]\cos\,150^\circ[/tex3]

Reduzindo ao primeiro quadrante achamos [tex3]30^\circ = 180^\circ -150^\circ,[/tex3] logo [tex3]\cos\, 150^\circ = -\cos \,30^\circ \,=\, -\frac{1}{2}[/tex3].

[tex3]\text{tg}\, 300^\circ[/tex3]

Reduzindo ao primeiro quadrante achamos [tex3]60^\circ \,=\, 360^\circ\, -\,300^\circ ,[/tex3] logo [tex3]\text{tg}\, 300^\circ \,=\, - \text{tg}\,60^\circ \,=\, -\sqrt3[/tex3].

Substituindo na equação dada:

[tex3]\frac{-\frac{\sqrt 2 }{2}\,-\,(-\frac{1}{2})}{-\sqrt 3}[/tex3], após os calculos, racionalizações e simplificações necessárias chagamos a:

[tex3]\frac{\sqrt 6 \,-\, \sqrt 3}{6}[/tex3].