Pré-Vestibular ⇒ (UFRR) - Áreas Tópico resolvido

[Hazengard]

Os catetos de um triângulo retângulo são iguais a b e c. Então o comprimento da bissetriz do ângulo reto é:

Resposta

---

[tex3]\frac{\sqrt{2}bc}{b+c}[/tex3]

[LucasPinafiMOD]

Hello friend.

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Sendo [tex3]\alpha = \beta = \frac{90^\circ }{2}=45^\circ [/tex3]
(Lembre-se que a e b são lados de um triângulo e [tex3]\alpha[/tex3] o ângulo entre eles, [tex3]A= \frac{bc \sin \alpha}{2}[/tex3] é a área do triângulo.
Seja [tex3]x[/tex3] o comprimento que estamos procurando, então:
A área do triângulo maior é:
[tex3]A= \frac{bc}{2}[/tex3]
A dos menores são:
[tex3]A_1 = \frac{bx \sin 45^\circ }{2}[/tex3]
[tex3]A_2 = \frac{cx \sin 45^\circ }{2}[/tex3]
[tex3]A_1+A_2 = A \Rightarrow x(b+c) \sin 45^\circ = bc[/tex3]
[tex3]x(b+c) \frac{1}{\sqrt{2}}=bc \Rightarrow x= \frac{\sqrt{2} bc}{b+c}[/tex3]

[Hazengard]

Muito obrigado, Lucas!

[Osama]

Olá, bora raciocinar! Vamos utilizar as propriedades de semelhança de triângulo.
Imagine um ponto P na hipotenusa tal que BP seja a bissetriz do ângulo ABC e imagine outro ponto Q no cateto AB tal que PQ seja ortogonal a AB. Isso que dizer que os triângulos ABC e AQP são semelhantes, e como os catetos a e c são respectivamente opostos aos vértices A e C, temos:
a/c = CB/AB = PQ/(AB-BQ) = PQ/(c-PQ)
Vamos utilizar a semelhança >> a/c = PQ/(c-PQ)
a(c-PQ) = c.PQ
ac-a.PQ = c.PQ
ac = c.PQ+a.PQ
ac = PQ(c+a)
PQ = ac/(c+a)
Temos que por propriedade BP = PQ [tex3]\sqrt{2}[/tex3], logo BP = ac [tex3]\sqrt{2}[/tex3]/(c+a).
Espero ter ajudado!

[Hazengard]

Muito obrigado, Osama. Apenas uma dúvida. Esta letra "a" seria o mesmo que o "b" de um dos catetos, correto?

[Osama]

Sim!

[Hazengard]

Atah! Muito obrigado, Osama!