Ensino Médio ⇒ Equações Polinomiais: Relações de Girard

[hinata]

Se [tex3]a,\, b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] são raízes da equação [tex3]x^3 \,-\, rx\, +\, 20\, =\,0[/tex3] onde [tex3]r[/tex3] é um número real, podemos afirmar que o valor de [tex3]a^3\,+\,b^3\,+\,c^3[/tex3] é

a) [tex3]{-}60[/tex3]
b) [tex3]62+r[/tex3]
c) [tex3]62+r^2[/tex3]
d) [tex3]62+r^3[/tex3]
e) [tex3]62-r[/tex3]

[italoemanuell]

Olá Hinata, seja bem-vinda ao forum!

Lema: Se [tex3]a+b+c=0,[/tex3] então [tex3]a^3\,+\,b^3\,+\,c^3=3abc.[/tex3]

Prova:

• [tex3]\begin{array}{rl} a+b+c=0 &\Rightarrow a+b=-c\\
  & \Rightarrow(a+b)^3=(-c)^3 \\
  & \Rightarrow a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=-c^3 \\
  &\Rightarrow a^3+b^3+c^3=-3a^2b-3ab^2 \\
  &\Rightarrow a^3+b^3+c^3=-3ab(a+b)=3abc.\\
  &\text{c.q.d.}
  \end{array}[/tex3]

Pelas relações de Girard, temos que

• [tex3]abc=-\frac{20}{1}=-20.[/tex3]

Portanto,

• [tex3]a^3+b^3+c^3=3\cdot (-20)=-60[/tex3]

Resposta: (a).