IME / ITA ⇒ Geometria Analítica: Reta e Circunferência Tópico resolvido

[alinebotelho]

A figura abaixo representa a quarta parte de um círculo de raio [tex3]1[/tex3].

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No arco [tex3]AB[/tex3] considere dois pontos [tex3]P[/tex3] e [tex3]Q[/tex3] de forma que a reta [tex3]PQ[/tex3] seja paralela à reta [tex3]AB.[/tex3] Ainda, considere que [tex3]X[/tex3] e [tex3]Y[/tex3] são pontos de intersecção da reta [tex3]PQ[/tex3] com as retas [tex3]AO[/tex3] e [tex3]OB,[/tex3] respectivamente. Calculando-se o valor de [tex3](\overline{PX})^2 + (\overline{PY})^2[/tex3], obtém-se:

a) [tex3]1\text{ }[/tex3] b) [tex3]2\text{ }[/tex3] c) [tex3]3\text{ }[/tex3] d) [tex3]4\text{ }[/tex3] e) [tex3]5\hspace{40pt}[/tex3]

[Karl Weierstrass]

Adotemos convenientemente um sistema de eixos cartesianos com origem no ponto [tex3]O.[/tex3]

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Segue que

• [tex3]\overline{OA}\,=\,\overline{OB}\,=\,1\,\Longrightarrow B\hat{A}O\,\equiv\, A\hat{B}O\,=\,45^{\cir}\,\Longrightarrow\, X\hat{A}B\,=\,180^\circ\,-\,45^{\circ}\,=\,135^{\circ}.[/tex3]

Seja [tex3]m_{AB}[/tex3] o coeficiente angular da reta [tex3]AB[/tex3]. Logo, [tex3]m_{AB}\, =\, \text{tg}\,135^{\circ}\,=\,-1[/tex3].

Temos ainda que [tex3]AB\, \parallel\, PQ[/tex3] implica em [tex3]m_{AB}\,=\,m_{PQ}\,=\,-1,[/tex3] onde [tex3]m_{PQ}[/tex3] é o coeficiente angular da reta [tex3]PQ[/tex3].

Seja [tex3]P\,=\,(\alpha,\,\beta).[/tex3]

A equação da reta [tex3]PQ[/tex3] é dada por

• [tex3]y\,-\,\beta\,=\,(-1)\,\cdot\,(x\,-\,\alpha)\,\Longrightarrow\,y\,=\,-x\,+\,\alpha\,+\,\beta.[/tex3]

Então, [tex3]X\,=\,(\alpha\,+\,\beta,\,0)[/tex3] e [tex3]Y\,=\,(0,\,\alpha\,+\,\beta).[/tex3] Logo,

• [tex3]\overline{PX}^2\,=\,\beta^2+\beta^2=2\beta^2[/tex3]

e

• [tex3]\overline{PY}^2\,=\,\alpha^2\,+\,\alpha^2\,=\,2\alpha^2.[/tex3]

Como [tex3]P[/tex3] pertence à circunferência [tex3]x^2\,+\,y^2\,=\,1,[/tex3] temos que [tex3]\alpha^2\,+\,\beta^2\,=\,1.[/tex3]

Portanto,

• [tex3]\overline{PX}^2+\overline{PY}^2=2\alpha^2\,+\,2\beta^2\,=\,2\,\cdot\,\underbrace{(\alpha^2\,+\,\beta^2)}_1\,=\,2.[/tex3]

[tex3]\boxed{\text{B}}[/tex3]