Olimpíadas ⇒ (AIME-2002) Análise Combinatória Tópico resolvido

[gabrielifce]

D é um polígono regular de 12 lados. Quantos quadrados ( no plano de D) possuem dois ou mais vertices como vértices de D?
Idéia? ???

Resposta

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183

[csmarceloMOD]

Não consigo "visualizar" mais do que [tex3]2\cdot C^{12}_2=132[/tex3] quadrados.

[gabrielifce]

Me passa tua idéia aí mah ? Eu nem sei como pensar nessa questão

[csmarceloMOD]

Para cada combinação de dois pontos, podemos desenhar dois quadrados.

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Assim, a princípio, podemos desenhar [tex3]2\cdot C^{12}_2=132[/tex3] quadrados

Mas, pensando melhor, serão menos quadrados, pois, em alguns casos, há sobreposição.

Untitled2.png (12.16 KiB) Exibido 2219 vezes

Veja que, por exemplo, um dos quadrados feitos a partir dos segmentos [tex3]HE[/tex3], [tex3]EB[/tex3], [tex3]BK[/tex3] e [tex3]KH[/tex3] coincidem e isso se repete 12 vezes. Daí, podemos descartar [tex3]3\cdot12=36[/tex3] quadrados dos 132, sobrando apenas 96.

[gabrielifce]

Eu tinha encontrado os 183 quadrados, aí percebi que tinha simetria, dps ficou 135 quadrados

[csmarceloMOD]

Como você os encontrou?

[gabrielifce]

UpAlguém?

[ttbr96]

Fig19.png (20.48 KiB) Exibido 2163 vezes

Há 66 maneiras de escolher dois vértices, ou seja [tex3]C_{12}^2[/tex3].

Note que quaisquer dois vértices pode-se fazer três quadrados. Assim, temos no total 66(3) = 198 quadrados, mas temos excesso de contagem uma vez que alguns quadrados têm seus outros dois vértices no dodecágono também.

Todas as 12 combinações de dois vértices distintos que formam um lado do quadrado, formam apenas três quadrados, e todas as 12 combinações que forma um único quadrado, somente 6 quadrados. Então, no total, temos 9 + 6 = 15 quadrados de excesso.

Portanto, temos, no total, 198 - 15 = 183 quadrados.

Cheguei ao resultado, mas não sei se está correto o raciocínio.

[gabrielifce]

Todos esses quadrados estão dentro do polígono?

[gabrielifce]

Note que quaisquer dois vértices pode-se fazer três quadrados. Assim, temos no total 66(3) = 198 quadrados, mas temos excesso de contagem uma vez que alguns quadrados têm seus outros dois vértices no dodecágono também.

Mash
Como assim? ? Dois vértices pode-se fazer 3 quadrados?