IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 1978) Ângulos na Circunferência Tópico resolvido

[Flavio2008]

Na figura abaixo temos que a medida do ângulo [tex3]\hat{A}[/tex3] é igual a [tex3]30^\circ,[/tex3] o menor arco [tex3]QS[/tex3] é dobro do menor arco [tex3]PR[/tex3] e as cordas [tex3]PQ[/tex3] e [tex3]RS[/tex3] são iguais. A razão da corda [tex3]QS[/tex3] para a corda [tex3]PR[/tex3] é

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a) [tex3]\sqrt{\frac{3}{2}}[/tex3]
b) [tex3]2[/tex3]
c) [tex3]\sqrt{2}[/tex3]
d) [tex3]\sqrt{3}[/tex3]
e) faltam dados

Resposta:

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d

[agp16]

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• [tex3]P\widehat{A}R=\frac{2PR -PR}{2}\Longrightarrow PR=60^\circ \text{ e } QS = 120^\circ.[/tex3]

Logo, se [tex3]r[/tex3] é o raio do círculo e [tex3]O[/tex3] seu centro, segue que:

• [tex3]\triangle POR[/tex3] é equilátero com [tex3]\overline{PR}=r;[/tex3]
  [tex3]\triangle QOS[/tex3] é obtusângulo isósceles com [tex3]\overline{SO}=\overline{QO}=r;[/tex3] e
  [tex3]\triangle POQ\equiv \triangle ROS[/tex3] retângulos isósceles.

Aplicando a lei dos Cossenos no triângulo [tex3]QOS,[/tex3] vem

• [tex3]\overline{QS}^2=r^2+r^2-2\cdot r\cdot r\cdot \cos 120^\circ\Longrightarrow \overline{QS}=r\sqrt{3}.[/tex3]

Portanto, a razão pedida é [tex3]\frac{r\sqrt{3}}{r}=r\sqrt{3}.[/tex3]