Ensino Superior ⇒ Prisma triangular reto Tópico resolvido

[CloudAura]

Calcule a área das bases de um prisma triangular reto cujas faces laterais estão contidas nos planos
p1: z-1=0
p2: x+y-z+1=0
p3: x+y+z+1=0

[emanuel9393MOD]

Olá, CloudAura!

A ideia inicial seria encontrar a equação de qualquer plano perpendicular ao eixo desse prisma. Vamos, então, determinar a interseção de quaisquer dois planos apresentados:

[tex3]\begin{cases}p_1: z-1=0 \\ p_2: x+y-z+1=0 \end{cases} \Rightarrow p_1\cap p_2: x-y=0; \ z=1 \ \ (I)[/tex3]

Sabemos que [tex3]p_1 \cap p_2[/tex3] é uma reta cujo vetor diretriz é [tex3]\vec n = (1,-1,0)[/tex3]. Com isso, um plano [tex3]\pi[/tex3] perpendicular ao eixo principal seria [tex3]\pi: x-y=0[/tex3]. Vamos achar agora as interseções [tex3]P_1,P_2,P_3[/tex3] entre esse plano e quaisquer dois planos que definem a área do prisma. Com isso, teremos que resolver os sistemas:

[tex3](P_1)\begin{cases} z-1=0 \\ x+y-z+1=0 \\ x-y=0 \end{cases} (P_2)\begin{cases} z-1=0 \\ x+y+z+1=0 \\ x-y=0\end{cases} (P_3)\begin{cases} x+y-z+1=0 \\ x+y+z+1=0 \\ x-y=0 \end{cases}[/tex3]

Resultando em [tex3]P_1(0,0,1), \ P_2(-1,-1,1), \ P_3(-1/2,-1/2,0)[/tex3]. Agora, o problema se resume a encontrar a área do triângulo cujos vértices são esses pontos. Definindo os vetores [tex3]\overrightarrow{P_1P_2}[/tex3] e [tex3]\overrightarrow{P_1P_3}[/tex3] e calculando a área [tex3]S[/tex3] do triângulo, temos:

[tex3]\overrightarrow{P_1P_2} = P_2-P_1 = (-1,-1,0) \\ \overrightarrow{P_1P_3}=P_3-P_1=\left(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2},-1\right) \\ S = \dfrac{1}{2} \cdot ||\overrightarrow{P_1P_2} \times \overrightarrow{P_1P_3}|| = \dfrac{1}{2} \cdot \left|\left|\begin{array}{ccc}
\vec i & \vec j & \vec k \\
-1 & -1 & 0 \\
-1/2 & -1/2 & -1 \\
\end{array}\right|\right| \Rightarrow \boxed{\boxed{S = \dfrac{\sqrt{2}}{2}}}[/tex3]

Espero ter ajudado em algo!
Se tiver alguma outra resolução, por favor, poste aqui!
Grande abraço!