Ensino Superior ⇒ Demonstração: Vetores Coplanares e Ortogonais

[aprendiz123]

Sejam [tex3]A(0,\,1,\,0),\, B(2,\,-1,\,3)[/tex3] e [tex3]C(1,\,2,\,0)[/tex3] vértices de um triângulo [tex3]ABC:[/tex3]

a) determinar um vetor [tex3]\vec{M}[/tex3] de módulo [tex3]\sqrt{17},[/tex3] colinear com a altura baixada do vértice [tex3]B;[/tex3]

b) mostrar que o vetor [tex3](\vec{AB}\,\times\,\vec{AC})\,\times\,\vec{BC}[/tex3] é coplanar com [tex3]\vec{AB}[/tex3] e [tex3]\vec{AC},[/tex3] sendo ortogonal ao vetor [tex3]\vec{BC}.[/tex3]

[Karl Weierstrass]

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a) Temos [tex3]\vec{AB}\,=\,(2,\,-2,\,3)[/tex3] e [tex3]\vec{AC}\,=\,(1,\,1,\,0).[/tex3] Como [tex3]\vec{AB}\,\cdot\,\vec{AC}\,=\,0,[/tex3] segue que [tex3]\vec{AB}\,\perp\,\vec{AC}.[/tex3] Logo, os vetores [tex3]\vec{M}[/tex3] e [tex3]\vec{AB}[/tex3] são colineraes, isto é,

[tex3]\hspace{70pt}\vec{M}\,=\,\alpha\,\cdot\,\vec{AB},[/tex3]

para algum escalar [tex3]\alpha.[/tex3]

Desse modo, como [tex3]|\vec{M}|\,=\,\sqrt{17}[/tex3] vem

[tex3]\hspace{70pt}|\vec{M}|\,=\,|\alpha|\,\cdot\,|\vec{AB}| \,\Longrightarrow\,\sqrt{17}\,=\,|\alpha|\,\cdot\,\sqrt{17}\,\Longrightarrow\,\alpha\,=\,\pm\,1.[/tex3]

Portanto, [tex3]\vec{M}\,=\,\vec{AB}\,\, \text{ou}\,\, \vec{M}\,=\,-\vec{AB}.[/tex3]


b) Basta saber que se [tex3]\vec{n}\,=\,\vec{a}\,\times\,\vec{b},[/tex3] então [tex3]\vec{n}[/tex3] é simultaneamente ortogonal a [tex3]\vec{a}[/tex3] e [tex3]\vec{b}.[/tex3]

Seja [tex3]\vec{u}\,=\,\vec{AB}\,\times\,\vec{AC}.[/tex3] Então [tex3]\vec{u}\, \perp \,\vec{AB}\,\,\text{ e}\,\, \vec{u}\, \perp \,\vec{AC}.[/tex3]

Seja [tex3]\vec{v}\,=\, (\vec{AB}\,\times\,\vec{AC})\,\times\,\vec{BC}\,=\,\vec{u}\,\times\,\vec{BC}.[/tex3] Portanto,

[tex3]\hspace{70pt}\vec{v}\, \perp \,\vec{u}[/tex3] implica em [tex3]\vec{v},\, \vec{AB}[/tex3] e [tex3]\vec{AC}[/tex3] coplanares e

[tex3]\hspace{70pt}\vec{v}\, \perp \,\vec{BC}.[/tex3]

[tex3]\hspace{250pt}[/tex3] c.q.d.

Também é possível mostrar através de força bruta.

Algoritmo:

i) Calcule [tex3]\vec{AB}\,\times\,\vec{AC};[/tex3]

ii) Calcule [tex3](\vec{AB}\,\times\,\vec{AC})\,\times\,\vec{BC};[/tex3]

iii) Se [tex3](\vec{AB}\,\times\,\vec{AC})\,\times\,\vec{BC}[/tex3] é coplanar com [tex3]\vec{AB}[/tex3] e [tex3]\vec{AC},[/tex3] então o produto misto de [tex3](\vec{AB}\,\times\,\vec{AC})\,\times\,\vec{BC},[/tex3] [tex3]\vec{AB}[/tex3] e [tex3]\vec{AC}[/tex3] é zero, isto é, [tex3]((\vec{AB}\,\times\,\vec{AC})\,\times\,\vec{BC},\,\vec{AB},\,\vec{AC})\,=\,0;[/tex3]

iv) Se [tex3](\vec{AB}\,\times\,\vec{AC})\,\times\,\vec{BC}[/tex3] e [tex3]\vec{BC}[/tex3] são ortogonais, então o produto escalar de [tex3](\vec{AB}\,\times\,\vec{AC})\,\times\,\vec{BC}[/tex3] e [tex3]\vec{BC}[/tex3] é zero, isto é, [tex3][(\vec{AB}\,\times\,\vec{AC})\,\times\,\vec{BC}]\,\cdot\,\vec{BC}\,=\,0.[/tex3]






[tex3]\,[/tex3]