Ensino Médio ⇒ Verificação de quantidade de zeros em uma função quadrática

[felipemf]

Verifique que a função quadrática definida por:

[tex3]f(x)=\frac{2}{a}x^2-\frac{2}{h}x+\frac{1}{b}[/tex3]

possui pelo menos um zero se [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] são as medidas dos catetos de um triângulo retângulo em que [tex3]h[/tex3] é a medida da altura relativa à hipotenusa.

[Ittalo25MOD]

Temos que:

[tex3]h \cdot \sqrt{a^2+b^2} = a\cdot b\rightarrow h =\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}[/tex3]

Substituindo:

[tex3]f(x)=\frac{2}{a}x^2-\frac{2}{h}x+\frac{1}{b}[/tex3]

[tex3]f(x)=\frac{2}{a}x^2-\frac{2}{\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}}x+\frac{1}{b}[/tex3]

[tex3]f(x)=\frac{2}{a}x^2-\frac{2\cdot \sqrt{a^2+b^2}}{{ab}}x+\frac{1}{b}[/tex3]

Queremos que:

[tex3]\Delta\geq 0[/tex3]

[tex3]\sqrt{\frac{4\cdot (a^2+b^2)}{{a^2b^2}}-4\cdot \frac{2}{a}\cdot \frac{1}{b}}\geq 0[/tex3]

[tex3]2\cdot \sqrt{\frac{(a^2+b^2)}{{a^2b^2}}-\frac{2}{ab}}\geq 0[/tex3]

Ou seja:

[tex3]\frac{(a^2+b^2)}{a^2b^2}\geq \frac{2}{ab}[/tex3]

[tex3]a^2+b^2\geq 2ab[/tex3]

[tex3](a-b)^2\geq 0[/tex3]

c.q.d.

[jyulliano]

Solução em anexo da questão com um algebrismo mais simples:

Solução

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