IME / ITA ⇒ (AFA - 2005) Números Complexos Tópico resolvido

[brunoafa]

Considere o complexo [tex3]z[/tex3] tal que [tex3]\overline{|z|+z}=2-i[/tex3], onde [tex3]i=\sqrt{-1}[/tex3] e identifique entre as opções abaixo, as que são corretas.

(01) O afixo de z é ponto do 1º quadrante
(02) [tex3]\left(z-\frac{3}{4}\right)^{1002}[/tex3] é real positivo
(03) O menor inteiro positivo n para o qual [tex3]\left(z+\frac{1}{4}\right)^{n}[/tex3] é real negativo pertence ao intervalo [tex3]]2,5[[/tex3]

A soma das opções corretas é igual a

Resposta

---

5

[poti]

[tex3]z = a + bi[/tex3]

Então:

[tex3]\overline{\sqrt{a^2 + b^2} + a + bi} = 2 - i[/tex3]
[tex3]\sqrt{a^2 + b^2} + a - bi = 2 - i[/tex3]

Comparando a parte imaginária: [tex3]\boxed{b = 1}[/tex3]

Comparando a parte real: [tex3]\sqrt{a^2 + 1} + a = 2[/tex3]
[tex3]a^2 + 1 = (2 - a)^2[/tex3]
[tex3]\cancel{a^2} + 1 = 4 - 4a + \cancel{a^2}[/tex3]
[tex3]\boxed{a = \frac{3}{4}}[/tex3]

[tex3]\boxed{z = \frac{3}{4} + i}[/tex3]

(01) Verdadeira. As duas quotas são positivas.
(02) Falsa. Veja:
[tex3]i^{1002} = (i^2)^{501} = -1[/tex3]
(03) Verdadeira. Veja:
[tex3]1 + i = \sqrt{2} cis(45^{\circ})[/tex3]
[tex3](1 + i)^4 = 4 cis(180^{\circ}) = -4, \ \ 4 \in ]2,5[[/tex3]

A soma das opções corretas é 4

[brunoafa]

[tex3]z = a + bi[/tex3]

Então:

[tex3]\overline{\sqrt{a^2 + b^2} + a + bi} = 2 - i[/tex3]
[tex3]\sqrt{a^2 + b^2} + a - bi = 2 - i[/tex3]

Por que o conjugado não influenciou em nada no número que estava dentro da raiz?

[poti]

Conjugado só troca o sinal da parte imaginária.