IME / ITA ⇒ (AFA 2005) Trigonometia/Complexos Tópico resolvido

[brunoafa]

Considere
[tex3]i^2=-1[/tex3] e [tex3]a \in [0,2\pi], a \neq \frac{\pi}{2}, a \neq \frac{3\pi}{2}[/tex3]

Se [tex3]\overline{z}= \tan a+i[/tex3], então a soma dos valores de [tex3]a[/tex3] para os quais [tex3]|z|=2[/tex3] é igual a:

Resposta

---

[tex3]4\pi[/tex3]

[jrneliodias]

Olá, Brunoafa.

Se [tex3]|z|=2[/tex3], então [tex3]|z|^2=4[/tex3]. Assim,

[tex3]z\cdot\bar{z}=4[/tex3]

[tex3]\tan^2a+1=4[/tex3]

[tex3]\frac{1}{\cos^2 a}=4[/tex3]

[tex3]\cos a = \pm\frac{1}{2}[/tex3]

Então,

[tex3]a=\left\{\,\frac{\pi}{3},\,\frac{2\pi}{3},\,\frac{4\pi}{3},\,\frac{5\pi}{3}\,\right\}[/tex3]

Portanto, a soma de todos será [tex3]4\pi[/tex3].

Espero ter ajudado.

[brunoafa]

Obrigado!