Ensino Superior ⇒ Vetores: Projeção de um Vetor e Pé da Altura de um Triângulo Tópico resolvido

[aprendiz123]

Dado o triângulo de vertices [tex3]A=(1,2,-3),[/tex3] [tex3]B=(-1,-1,2)[/tex3] e [tex3]C=(7,-1,3),[/tex3] determinar o ponto [tex3]H,[/tex3] pé da altura baixada do vértice [tex3]A.[/tex3]

Resposta:

---

[tex3]H=(3,1,-1)[/tex3]

[Karl Weierstrass]

Seja [tex3]H\,=\,(x,\,y,\,z).[/tex3]

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O vetor [tex3]\vec{BH}[/tex3] é a projeção do vetor [tex3]\vec{BA}[/tex3] sobre o vetor [tex3]\vec{BC}.[/tex3]

Logo,

• [tex3]\vec{BH}\,=\,\text{Proj}\,\,_{\small\vec{BC}}\, \vec{BA}\,=\,\left[\frac{\vec{BA}\,\cdot\,\vec{BC}}{|\vec{BC}|^2}\right]\,\cdot\,\vec{BC}.[/tex3]

Segue que

• [tex3]\vec{BA}\,=(2,\,3,\,-5),[/tex3]
  
  [tex3]\vec{BC}\,=(8,\,0,\,1),[/tex3]
  
  [tex3]\vec{BA}\,\cdot\,\vec{BC}\,=\,11[/tex3]

e

• [tex3]|\vec{BC}|\,=\,\sqrt{64\,+\,1}\,=\,\sqrt{65}.[/tex3]

Portanto,

• [tex3]\vec{BH}\,=\,\frac{11}{65} \,\cdot\,(8,\,0,\,1)\,=\,\left(88/65,\,0 ,\,11/65 \right).[/tex3]

Por outro lado,

• [tex3]\vec{BH}\,=\,H\,-\,B\,\Longrightarrow\,\left(88/65,\,0 ,\,11/65 \right)\,=\,(x\,+\,1,\,y\,+\,1,\,z\,-\,2)\,\Longrightarrow\,\begin{cases}x\,=\,23/65\\y\,=\,-1\\z\,=\,141/65\end{cases}[/tex3].

Prova de que a resposta [tex3]H\,=\,(3,\,1,\,-1)[/tex3] está furada:

As equações paramétricas da reta [tex3]BC[/tex3] são:

• [tex3]x\,=\,-1\,+\,8t\\
  y\,=\,-1\\
  z\,=\,2\,+\,t[/tex3]

Como [tex3]H[/tex3] pertence à reta [tex3]BC,[/tex3] a ordenada de [tex3]H[/tex3] deve ser [tex3]{-}1,[/tex3] mas [tex3]H\,=\,(3,\,1,\,-1)[/tex3] ...

[aprendiz123]

vlw, ah eh parabéns