Pré-Vestibular ⇒ (UFU) Geometria Analítica: Cônicas Tópico resolvido

[carloslord]

O conjunto de todos os números reais [tex3]m,[/tex3] diferentes de zero, para os quais a parábola [tex3]y = 2mx^2 - x + 1[/tex3] intercepta a reta [tex3]y = 3x + m[/tex3] em dois pontos é:

a) [tex3]\left\{m \in \mathbb{R}\text{ | } m >\frac{1}{8}\right\}[/tex3]
b) [tex3]\{m \in \mathbb{R}\text{ | } m <3\}[/tex3]
c) [tex3]\{m \in \mathbb{R}\text{ | } m \neq 0\}[/tex3]
d) [tex3]\left\{m \in \mathbb{R}\text{ | } \frac{1}{8} <m< 3\right\}[/tex3]
e) [tex3]\{m \in \mathbb{R}\text{ | } m >0\}[/tex3]

[fabit]

Duas equações cartesianas que representam figuras que devem se cruzar formam um sistema de equações. No caso:

• [tex3]\begin{cases}
  y=3x+m\\
  y=2mx^2-x+1
  \end{cases}\text{ },[/tex3]

cujas soluções [tex3](x;y)[/tex3] são as coordenadas das intersecções entre as figuras dadas por cada equação.

Eliminando [tex3]y,[/tex3] ficamos com [tex3]3x+m=2mx^2-x+1\Rightarrow2mx^2-x-3x+1-m=0\Rightarrow2mx^2-4x+(1-m)=0.[/tex3]

Se devemos ter duas interseções, lembrando que a reta [tex3]y=3x+m[/tex3] não é vertical, basta forçar que a equação obtida seja de fato quadrática [tex3](2m \neq 0 \Rightarrow m \neq 0[/tex3]) e tenha um discriminante estritamente positivo [tex3](\triangle= b^2-4ac > 0).[/tex3]

Então [tex3](-4)^2-4\cdot (2m)\cdot (1-m)\gt 0 \Rightarrow 16-8m\cdot (1-m) < 0 \Rightarrow 16-8m+8m^2 >0 \Rightarrow m^2-m+2 >0 .[/tex3] Essa desigualdade é satisfeita para todo [tex3]m[/tex3] real.

A resposta é letra (c).

[carloslord]

Meu queridoo, muito obrigado.