Pré-Vestibular ⇒ (Convest) Números Complexos Tópico resolvido

[marmarcela]

Sejam u e v dois complexos tais que u²-v²=6 e [tex3]\overline{u}[/tex3]+[tex3]\overline{v}[/tex3]=1-i ( [tex3]\overline{u}[/tex3] e [tex3]\overline{v}[/tex3] conjugados de u e v). Então u-v é igual a:

a)1-i
b)1+i
c)3+3i
d)3-3i
e)2+2i

Resposta

---

d

Acredito eu que tenho que conciderar que z=a+bi e [tex3]\overline{z}[/tex3]=a-bi

[csmarceloMOD]

[tex3]u^2-v^2=(u+v)(u-v)[/tex3], do produto notável diferença dos quadrados de dois termos.

Dado,

[tex3]u=a+bi[/tex3]
[tex3]v=c+di[/tex3]

Atente para as seguintes operações:

[tex3]u+v=a+bi+c+di=(a+c){\color{red}+}(b+d)i[/tex3]
[tex3]\overline{u}+\overline{v}=a-bi+c-di=(a+c){\color{red}-}(b+d)i[/tex3]

[tex3]u-v=a+bi-(c+di)=(a-c){\color{red}+}(b-d)i[/tex3]
[tex3]\overline{u}-\overline{v}=a-bi-(c-di)=(a-c){\color{red}-}(b-d)i[/tex3]

Repare que a diferença entre a operação realizada com os números complexos e a com os seus conjugados é o sinal que une, por assim dizer, as partes real e imaginária.

Logo, se [tex3]\overline{u}+\overline{v}=1-i[/tex3], então [tex3]u+v=1+i[/tex3].

Substituindo lá no produto notável,

[tex3](1+i)(u-v)=6[/tex3]

Desenvolvendo a equacão,

[tex3]u-v=\frac{6}{(1+i)}[/tex3]
[tex3]u-v=\frac{6(1-i)}{(1+i)(1-i)}[/tex3], quando temos um complexo no denominador, o multiplicamos pelo seu conjugado para, assim, transformar o denominador em um número real.

[tex3]u-v=\frac{6-6i}{1^2-i^2}[/tex3]
[tex3]u-v=\frac{6-6i}{1-(-1)}[/tex3]
[tex3]u-v=\frac{6-6i}{2}[/tex3]
[tex3]u-v=3-3i[/tex3]