Olimpíadas ⇒ (OCM) Geometria Analítica Tópico resolvido

[gabrielifce]

Dentre os triângulos OAB com vértice O na origem e os outros A e B, respectivamente, nas retas y=1 e y=3 é alinhados com o ponto P(7,0), determinar aquele para o qual é mínima a soma dos quadrados dos lados.

Resposta

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A (5,1) B (1,3)

[gabrielifce]

UpAlguém.

[undefinied3]

Desenhando um plano cartesiano, basicamente teremos 3 pontos: a origem O (0,0), o ponto A (a,1), e o ponto B (b,3). Os lados do triângulo são OA, OB e AB. Se formos falar de tamanho, esses lados medem [tex3]D_{OA}[/tex3], [tex3]D_{OB}[/tex3] e [tex3]D_{AB}[/tex3], sendo D a distância entre esses pontos e dado pela fórmula: [tex3]\sqrt{(x1-x2)^2 + (y1-y2)^2}[/tex3].

Então o enunciado basicamente quer que [tex3]D_{OA}^2 + D_{OB}^2 + D_{AB}^2[/tex3] seja mínimo. Escrevendo as distâncias em função dos pontos que definimos:
[tex3][(a-0)^2 + (1-0)^2] + [(b-0)^2 + (3-0)^2] + [(a-b)^2 + (1-3)^2] = a^2+b^2+14+(a-b)^2[/tex3]

Utilizando a outra informação do enunciado, sabemos que os pontos A, B e (7,0) são colineares, então o determinante da matriz formado por esses pontos é 0 (desculpe-me mas não encontrei como montar o determinante então montei no formato de matriz mesmo, mas considere como determinante):
[tex3]\begin{pmatrix}
7 & 0 & 1 \\
a & 1 & 1 \\
b & 3 & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3] = 0

Calculando o determinante encontramos:
3a-b-14=0 [tex3]\rightarrow[/tex3] b=3a-14

Voltando na outra expressão e substituindo b por 3a-14:
[tex3]a^2+b^2+14+(a-b)^2 = a^2+(3a-14)^2+(-2a+14)^2+14=14a^2-140a+406[/tex3]

Seja uma função f(a) tal que f(a)=14a²-140a+406. Para encontrar a menor soma dos quadrados dos lados possível, queremos que essa função seja mínima, então basta encontrar [tex3]a[/tex3] tal que a função seja mínima. Há vários modos de fazer isso, pessoalmente prefiro derivar e igualar a zero:
f'(a)=28a-140
28a-140=0 [tex3]\rightarrow[/tex3] 28a=140 [tex3]\rightarrow[/tex3] a=5

Ou seja, b=3*5-14=1

Assim, os pontos A e B são tais que A: (5,1) e B: (1,3)