Olimpíadas ⇒ (OCM) Geometria Analítica Tópico resolvido

[gabrielifce]

Considere todas as retas que encontram o gráfico da função f (x)=2 [tex3]x^{4}[/tex3]+7 [tex3]x^{3}[/tex3]+3x-5 em quatro pontos distintos digamos (x1, y1), (X2, y2), (x3, y3), (x4, y4). Mostre que o valor de (x1+x2+x3+x4)/4 é independente da reta e ache esse valor

Não tenho gabarito.

[gabrielifce]

UpAlguém.

[undefinied3]

Tomemos a função [tex3]f(x)=2x^4+7x^3+3x-5[/tex3]. Para f(x)=0, não obtemos 4 soluções reais, então o próprio eixo das abscissas não é uma reta que irá cortar a função em 4 pontos. Imaginemos então uma reta [tex3]y=ax+b[/tex3] tal que ela intercepte a f(x) em 4 pontos. Teremos a seguinte equação:

[tex3]2x^4+7x^3+3x-5=ax+b \rightarrow 2x^4+7x^3+(3-a)x+(-5-b)=0[/tex3]

Percebe que pela natureza da função de uma reta, ela só pode mexer com o coeficiente de x e com o termo independente. Porém, nossa função f(x) é de grau 4. Lembrando das relações de girard, temos então que a soma das raízes da nossa função de grau 4 é dado por [tex3]-b/a=-7/2[/tex3], e 7 é coeficiente de [tex3]x^3[/tex3]. Como dito anteriormente, devido a natureza da função da reta, esta não pode alterar o coeficiente de [tex3]x^3[/tex3] e, portanto, não pode alterar a soma das 4 raízes do polinômio que sempre será -7/2 = -3,5, e consequentemente [tex3]\frac{x1+x2+x3+x4}{4} = -\frac{7}{8}[/tex3]

Creio que seja esta a resolução.