IME / ITA ⇒ (ITA - 1977) Geometria Plana: Polígonos Regulares Tópico resolvido

[barbarahass]

O número de diagonais de um polígono regular de [tex3]2n[/tex3] lados, que não passam pelo centro da circunferência circunscrita a esse polígono é dado por:

a) [tex3]2n(n-2)[/tex3]
b) [tex3]2n(n-1)[/tex3]
c) [tex3]2n(n-3)[/tex3]
d) [tex3]\frac{n(n-5)}{2}[/tex3]
e) [tex3]\text{n.d.a}[/tex3]

[victor]

O número de diagonais que passam pelo centro é dado pela fórmula

• [tex3]d_c =\frac{n}{2},[/tex3]

onde [tex3]n[/tex3] é o número de lados (só para números de lados pares)

Portanto, o número de diagonais que não passam pelo centro é dado por

• [tex3]d_{nc} = d_t - d_c,[/tex3]

onde [tex3]d_t[/tex3] é o número total de diagonais.

• [tex3]d_{nc} = \frac{2n(2n-3)}{2} - \frac{2n}{2}[/tex3]
  [tex3]d_{nc} = 2n^2 - 3n - n[/tex3]
  [tex3]d_{nc} = 2n(n-2)[/tex3]

Alternativa (a).

[fabit]

O [tex3]2n[/tex3] é para garantir que o gênero é par (nos regulares de gênero ímpar nenhuma diagonal é diâmetro).

Primeiro, as [tex3]x[/tex3] que não passam pelo centro são dadas por [tex3]x=t-y,[/tex3] onde [tex3]t[/tex3] é o total de diagonais e [tex3]y[/tex3] é o número das que passam pelo centro (diâmetros).

Por exemplo, um octógono regular tem [tex3]t=20[/tex3] diagonais, das quais [tex3]y=4[/tex3] passam pelo centro, logo [tex3]t-y=16[/tex3] não passam.

Usando a fórmula [tex3]d=\frac{n(n-3)}{2}[/tex3] mas com [tex3]2n[/tex3] no lugar de [tex3]n,[/tex3] encontraremos [tex3]t.[/tex3] Depois basta subtrair [tex3]y=n[/tex3] do resultado para encontrar [tex3]n(2n-4).[/tex3]

Alternativa (a).