Ensino Superior ⇒ Vetores: Produto Escalar e Produto Vetorial Tópico resolvido

[aprendiz123]

O vetor [tex3]\vec{x}[/tex3], perpendicular aos vetores [tex3]\vec{a}[/tex3] = (2,0,0) e [tex3]\vec{b}[/tex3] = (0,1,3), forma com o eixo oz um ângulo obtuso. Calcular suas coordenadas se | [tex3]\vec{x}[/tex3]| = 4 [tex3]\sqrt{10}[/tex3]


Resposta:
[tex3]\vec{x}[/tex3] = (0,12,-4)

[Karl Weierstrass]

O vetor [tex3]\vec{x}[/tex3], perpendicular aos vetores [tex3]\vec{a}\,=\, (2,\,0,\,0)[/tex3] e [tex3]\vec{b}\, = \,(0,\,1,\,3),[/tex3] forma com o eixo [tex3]Oz[/tex3] um ângulo obtuso. Calcular suas coordenadas se [tex3]|\vec{x}|\, =\, 4 \sqrt{10}.[/tex3]

[tex3]\hspace{70pt}(\vec{x}\,\perp\,\vec{a})\, \wedge\,(\vec{x}\,\perp\,\vec{b})\,\Longrightarrow \,\vec{x}\,\parallel\,\vec{a}\,\times\,\vec{b}\,=\,\vec{u}\,\Longrightarrow \,\vec{x}\,=\,\alpha\,\cdot\,\vec{u},\,\,\alpha\,\in\,\mathbb{R}.[/tex3]

[tex3]\hspace{70pt}\vec{u}\,=\,\left|\begin{array}{ccc}

\vec{i}& \vec{j}&\vec{k} \\

2& 0& 0\\

0& 1& 3\\

\end{array}\right|\,=\,-6\vec{j}\,+\,2\vec{k}\,=\,(0,\,-6,\,2)[/tex3]

[tex3]\hspace{70pt}|\vec{x}|\,=\,|\alpha|\,\cdot\,|\vec{u}|\,\Longrightarrow \,4\sqrt{10}\,=\,|\alpha|\,\cdot\,2\sqrt{10}\,\Longrightarrow \,\alpha\,=\,\pm\,2.[/tex3]

Se [tex3]\vec{x}[/tex3] forma um ângulo obtuso com o eixo [tex3]Oz,[/tex3] então [tex3]\vec{x}\,\cdot\,\vec{k}\,\lt\,0.[/tex3]

[tex3]\hspace{70pt}\vec{x}\,\cdot\,\vec{k}\,\lt\,0\,\Longrightarrow \, (0,\,-6\alpha,\,2\alpha)\,\cdot\,(0,\,0,\,1)\,\lt\,0\,\Longrightarrow \,\alpha\,\lt\,0\,\Longrightarrow \,\alpha\,=\,-2.[/tex3]

Portanto, [tex3]\vec{x}\,=\,(0,\,12,\,-4).[/tex3]





[tex3]\,[/tex3]